Ch15 全概率公式与贝叶斯公式.pptVIP

* 高等院校经济管理类专业 经济数学基础系列教材 概率论与数理统计 第一章 随机事件及其概率 §1.1 随机事件 §1.2 频率与概率 §1.3 古典概型与几何概型 §1.4 条件概率与事件的独立性 §1.5 全概率公式与贝叶斯公式 一、全概率公式 例1.22(引例) 有两个形状相同的罐子，在第一罐中装 有2个白球1个黑球，在第二罐中装有3个白球2个黑球， 某人任取一罐，从中任取一球，试求取得白球的概率。 解 记为Ai事件“球取自第 i 罐”，i=1,2，B表示事件 “取得白球”。显然有 利用概率的有限可加性和乘法公式可得 由题意知 于是有 引例中计算概率P(B)的思想方法具有一般性，可 总结成如下定理： 定理1.5（全概率公式）如果事件 满足 如下条件： （1） （2） 两两互不相容，即 （3） 则对于任何一个事件B，有 证 化整为零 化难为易 注意：全概公式是一种“化整为零” “化难 为易”的的方法，它不仅使计算简单，而且使 分析问题的思路变得十分清晰，从而使题目的 难度大为降低。 【例】10个乒乓球中有7个新球，第一次随机 地取出2个，用完后放回去，第二次又随机地取 出2个，求第二次取出的是两个新球的概率。 【解】以第一次随机地取出2个球的所有可能 结果作为完备事件组，记A1=“第一次取出2个新 球” ，A2=“第一次取出1个新球1个旧球”， A3 = “第一次取出2个旧球”，B=“第二次取出的是两 个新球”，则 于是，由全概公式得 例1.23 为了解某支股票未来一定时期内价格的变化， 人们往往会去分析影响该股票价格的基本因素，比如利 率的变化。现假定经分析估计利率下调的概率为60%， 利率不变的概率为40%。根据经验分析，在利率下调的 情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不 变的情况下，该支股票价格上涨的概率为40%，求该支 股票价格将上涨的概率。 解 记A为事件“利率下调”， 为事件“利率不变”， B为事件“股票价格上涨”，依题意有 由全概率公式有 例1.24 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机进行射击， 三个人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7。若飞机被一人击 中，则飞机被击落的概率为0.2，若两人击中，飞机被击 落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必被击落。求飞机 被击落的概率。 解 设Ai表示事件“恰有i人击中飞机”，显然 A0 ,A1 ,A2 ,A3构成一完备事件组。 又设B1 ,B2 ,B3分别表示甲、乙、丙击中飞机这三个事件， B表示事件“飞机被击落”，依题意有 又 同理可求得 由全概率公式有 所以，飞机被击落的概率为0.458。 【例】甲乙两人进行比赛，每次比赛胜者得1分，假 定每次比赛甲、乙获胜的概率分别为a与b（a+b=1），比 赛进行到有一人比对方多2分为止，多2分为胜者，求甲 最终获胜的概率。 【解】设A=“甲最终获胜”，B1=“第1、2次射击甲均 获胜”， B2=“第1、2次射击乙均获胜”， B3=“在第1、2 次射击中，甲、乙各胜1次”，显然B1，B2，B3构成完 备事件组。则 由全概公式 所以 类似问题： 反复掷一枚骰子，求3点在5点之 前出现的概率；反复掷两枚骰子，求点数之和为5 出现在点数之和为7之前的概率。 此类题目通常是以第一次试验的所有可能结果 作为完备事件组然后利用全概公式求解。 1 2 3 4 5 分析： 设 Ai= “第 i 个元件能够正常工作” (i=1,2,3,4,5), 一般同学会想到利用广义加法公式求 解，即计算 显然，这样求解，计算过程麻烦且毫无 数学美感，如果利用全概公式求解感觉就大 不一样了。 【解】以第3个元件能否正常工作作为完备事 件组，用B表示“系统能够正常工作”，则 下面分别计算 和 ，若第3个元 件能正常工作，则原系统变为 1 2 4 5 全概公式 若第3个元件不能正常工作，则原系统变为 1 2 4 5 于是 二、贝叶斯（Bayes）公式 定理1.6（贝叶斯公式 ）如果事件 满足 如下条件： 则对于任何一个事件B ( P ( B ) 0 )，有 （1） （2）