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* * * * 基本不等式的证明 无锡辅仁高中 魏 民 问 题 情 境 1 对任意实数x、y，有 恒成立，即 . 探究： 1. 分别用 代替上面不等式中的x、y， 会得到什么式子 ？ 2. 对上述实数a、b，须有何限制条件？ 3. 上述不等关系中，何时取到“=”？ 问 题 情 境 2 如图, AB为半圆的直径, C为圆周上一动点, H为垂足. 设AH=a, HB=b, 半弦CH不大于半径CO O H B C A 把 称为a, b的算术平均数， 把 称为a, b的几何平均数. 探究： 1．试指出图中哪些线段的长度分别等于a, b的算术平均数 和几何平均数？ 2．能否比较出两者的大小关系？ （二）发现基本不等式 数： 形：半弦不大于半径 （三）构建基本不等式 如果 ，那么 （当且仅当a=b时取“=”）. 这个不等式称为基本不等式. 刚才，我们从数和形两个角度找到也证明了基本不等式. 那么, 这个基本不等式还有其他哪些证明方法呢? （四）基本不等式的证明（比较法） 证明不等式本质上就是比较大小， 那么比较大小最常用的方法是什么呢？ ． 比较法，作差(或作商) （三）基本不等式的证明（比较法） 说明：比较法证明不等式的步骤： ⑴作差（或作商）， ⑵变形：通分、因式分解、配方等， ⑶判断差式的符号， ⑷结论. ． (当且仅当a=b时取“=”). 基本不等式的证明（分析法） 求证: 刚才在做差后的配方变形是不少同学没有想到的， 确实有些不等式的证明用比较法还是很困难的． 例如,请看 基本不等式的证明（分析法） 要证 ， 只要证 ， 只要证 ， 只要证 ， 因为最后一个不等式成立，所以原不等式成立, 只要证 . 当且仅当a=b时取“=”. 基本不等式的证明（分析法） 要证 , 只要证 , 只要证 , 只要证 . 因为最后一个不等式成立，所以原不等式成立, 当且仅当a=b时取“=”. 基本不等式的证明（分析法） 条件 难入手 结论 显然成立 结论 变形 再变 简单点 再简单点 再变 基本不等式的证明（分析法） 条件 难入手 结论 不过，有的同学觉得还是习惯于传统的从已知条件出发推导出要证的结论. 基本不等式的证明（综合法） (当且仅当a=b时取“=”). 证明： 综合法： 从已知或事实出发，根据不等式的性质推导出要证的不等式. 基本不等式的证明（综合法） 分析法的优点是利于思考，因为它方向明确，易于发现思路. 综合法的优点是易于表述，条理清楚，形式简洁. 证明不等式时常常用分析法寻找解题思路，再用综合法写出证明过程． （五）基本不等式的简单应用 如果 ，那么 （当且仅当a=b时取“=”）. 这个不等式称为基本不等式. 基本不等式的变式： （五）基本不等式的简单应用 例 证明下列不等式 （1） (a0)； 思考1： 第（1）题若将a0 改为a0 ，要证的不等式有何变化？ 如何证明？ （五）基本不等式的简单应用 结论： (a0) ； (a0) . （五）基本不等式的简单应用 例 证明下列不等式 （2）