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* §. 广义积分 在区间 [ 1 ， + ? ）上给定函数 y = 1 / x2 , 求它与直线 x = 1 , x = b 和 x 轴所围成的 曲边梯形面积 S 。 从几何上说，这个极限可以认为是函数曲线 y = 1 / x2 ， 直线 x = 1 x 轴所围成的 无穷区域（右侧无边界）的面积 ！。 一个求 “面积” 的新问题： 在区间 [ 0 ， + ? ）上给定函数 y = 1 / (2x), 求它与 x 轴所围成的 无穷区域面积 S? 。 求 “无穷向右延伸区域 ” 的面积 又一例 这里实质上提出了一个可以把可积函数定积分中的积分区间推广到 无穷区间 上去的问题。 A.无穷限广义积分 无穷限的广义积分的定义 定义1 设 f ( x ) 在区间 [ a , +∞ ) 上连续. 如果下列极限存在 则称此极限为 f ( x ) 在区间 [ a , +∞ ） 上的 广义积分 ，简记 为： 定义3 设函数 f ( x ) 在区间 ( - ∞, +∞ )上连续. 如果下列两个极限 均存在 则称此两个极限和之和为 f ( x ) 在区间 ( -∞ , + ∞）上的广义积分， 简记为： 则称此极限为 f ( x ) 在区间 ( -∞ , b ] 上的 广义积分 ，简记为： 定义2 设 f ( x ) 在区间 ( -∞ , b ] 上连续. 如果下列极限存在 二. 无穷限广义积分的计算公式 —— N - L公式的广义形式 实例 例. 下面的广义积分是否收敛？如收敛，其值为多少？ 所以该广义积分收敛，其值为 1 / k . 当 p 1 时收敛，其值为 1 / ( p –1 ) ; 当 p ? 1 时 发散 . 所以该广义积分 三. 无穷限广义积分的换元法与分部积分法 1 . 无穷限广义积分的换元公式 2. 无穷限广义积分的分部积分公式 设位于曲线 下方， x 轴上方的无界 无界区域为 G , 则 G 绕 x 轴旋转一周所的的体积是多少 ？ （ 2010 年考研题 ） 解： 从几何上说，这个极限可以认为是函数曲线 y = （1 / x）1 / 2 ， 直线 x = 1 , x 轴 和 y 轴所围成 的 “ 无穷区域 ”（上侧无边界）的面积 ！ 在区间 （ 0 ，1 ] 上给定函数 y = （1 / x）1 / 2 , 求它与直线 x = 1 , 直线 x = ? 和 x 轴 所围成的曲边梯形面积 S 。 由于函数 y = （1 / x）1 / 2 在区间 （ 0 ，1 ] 上是无界的 , 这里实质上提出了一个无界函数所围区域的面积问题， 也就是无界函数的 “定积分” 问题。或者确切地说，能否把可积函数的定积分概念推广到 无界函数 上去。 求 “无穷向上延伸区域 ” 的面积 之例 B.无界函数的广义积分 无界函数的广义积分的定义 定义1 设 f ( x ) 在区间 [ a , b ) 上连续. f ( b – 0 ) = ? . 如果下列极 限存在: 则称此极限为 f ( x ) 在区间 [ a , b )上的广义积分收敛，简记为： 则称此极限为 f ( x ) 在区间 ( a , b ] 上的广义积分收敛，简记为： 定义2 设 f ( x ) 在区间 ( a , b ] 上连续. f ( a + 0 ) = ? . 如果下列极 限存在: 定义3 设函数 f ( x ) 在区间 [ a , c ) ? (c , b ] 上连续 . f ( c + 0 ) = ? 或（和） f ( c - 0 ) = ? 。如果下列两个极限均存在 : 则称此两个极限和为 f ( x ) 在区间 [ a , c ) ? (c , b ] 上的广义积分 收敛，简记为： 二. 无界函数广义积分的计算公式 —— N – L 公式的广义形式 三. 无界函数广义积分的换元法与分部积分法 无界函数广义积分的换元公式 无界函数广义积分的分部积分公式 *