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复习: §4.6 正态分布 例 例: 例: 例 例: 四.二元正态分布 常用随机变量的数字特征. =0.994-1+0.993=0.927 1.联合概率密度: 2.边缘密度函数是正态分布. 3.ρ是相关系数.且ρ=0 X与Y独立 1.二项分布X~B(n,p). 其中q=1-p. 2.泊松分布X~P(λ). 3.均匀分布X~U(a,b). Poisson积分: 或: X与Y的相关系数: X与Y独立.则 反之不成立. 一.标准正态分布 二.一般正态分布 三.二项分布X~B(n,p)的正态近似计算. 四.二元正态分布. 正态分布是应用最广泛的一种连续型分布. 正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布. 德莫佛 德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面. 正态分布 10马克的钱币 其密度函数和分布函数常用 和 表示： 一.标准正态分布 1.密度函数. 因为: 性质: 1) 关于y轴对称. 2)当x=0时,有最大值. 3)x轴是曲线的水平渐近线 -x x 4) P(X≤-x) = P(X≥x) 2.分布函数. 书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表. 3.正态分布表 表中给的是x0时, Φ(x)的值. 当-x0时 设X~N(0,1)求P(X≤2.35), P(X≤-2.35) P(-1X≤2), P(X≥5.5), P( X 2.35)) 解: P(X≤2.35)= =0.9906 P(X≤-2.35)= =0.0094 P(-1X≤2)= =0.8186 P(X≥5.5)=0 注意 =0.9812 1 4.标准正态分布的数字特征. EX= =0 EX2= =1 DX= =1 故: 记作 可以证明: 其中 和 都是常数， 任意， 0， 则称X服从参数为 和 的正态分布. 二.一般正态分布 1.密度函数. 正态分布 请看演示 正态分布 的图形特点 正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线. 特点是“两头小，中间大，左右对称”. 决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰的陡峭程度. 正态分布 的图形特点 下面是我们用某大学男大学生的身高的数据画出的频率直方图。 红线是拟合的正态密度曲线 可见，某大学男大学生的身高应服从正态分布。 2.一般正态分布的分布函数. 定理： ,则 ~N(0,1) 设 3.一般正态分布的标准化. 证明: 设Y的分布函数为: ,则 ~N(0,1) 设 证毕. 由此得出 查表求值 标准化公式: 若X~N(3,22) 求P(X2), 解: 一般正态分布注意标准化. 标准化. 对称性. =0.3085. (查表). 若X~N(3,22). =0.5-1+0.99865=0.49865 若X~N(3,22). =2×0.8413－1=0.6826. 设X~N(μ,σ2),P(X≤-5)=0.045,P(X≤3)= 0.618,求μ及σ. 解: -5 3 =0.618. 查表: =0.045 时， 可以认为，Y 的取值几乎全部集中在 区间内. 这在统计学上称作 3 准则 同理: 3 准则 标准化 例公共汽车车门的高度是按男子与车门 顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子 身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定? 解: 设车门高度为h cm,按设计要求 P(X≥ h)≤0.01 即: P(X h)≥ 0.99， 下面我们来求满足上式的最小的 h. 因为X～N(170,62), 查表得 (2.33)=0.99010.99 所以 =2.33, 即 h=170+13.98 184 设计车门高度为 184厘米时，可使 男子与车门碰头 机会不超过0.01. 故 P(X h)= 0.99 实用中，n 30， np 10时正态近似的效果较好. 如果n很大，而p不接近于0或1，那么可以证明，二项分布X~B(n,p)近似于正态分布. 即: 那么: 其中: 由标准化公式: 三.二项分布的正态近似计算 要进行一项对敏感问题的调查,发出1000 份调查单,假设每份回答的概率为0,2,问收回 的调查但不少于210份的概率为多少? 解: 设随机变量X表示收回的调查单数,则 X~