§3.3-3.4求导的法则.pptVIP

* ︽微积分教程︾ 第三章 导数与微分 §3.3 导数运算法则 §3. 3 导数的四则运算 引 言 求导数的方法称为微分法。用定义只能求出一些较简单的函数的导数（常量函数、幂函数、正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数，从而是初等函数的求导问题系统化，简单化。 一、主要内容 1.可导函数的和、差、积、商的求导法则 2.简单证明方法 3. 用导数运算法则求导 二、学习要求 掌握四则运算法则, 2. 会求简单函数的导数. §3.3 导数的四则运算 若函数 u(x) , v(x) 均可导, 则 推论: 1. 函数 u(x) , v(x)的代数和的导数 例 1 解 2. 函数 u(x) , v(x)的乘积的导数 若函数 u(x) , v(x) 均可导, 则 [注意] 两个函数乘积的导数,不等于函数导数乘积 . 例 2 解 证 因为可导必连续, 所以 推论: ①设 u ? C ( C为常数 ) , v = v(x) 可导, 则 通常说成: 常数因子可以提到导数符号外面. ②设 函数u ,v w 均 可导, 则 3. 函数 u(x) , v(x)的商的导数 若函数 u(x) , v(x) 均可导, 且 v(x) ≠ 0 则 [注意] 两个函数商的导数,不等于函数导数之商 . 例 3 解 证明 故 用乘法公式证明除法公式 解 例 4 3. 典型例题 设函数 v(x) 可导, 且 v(x) ? 0, 证明 令 u(x) =1, 证 由商的导数公式, 得 熟记哟 以后有用啊 例 5 解 例 6 解 例 7 例 8 解 函数的和、差、积、商的求导法则 小 结 设 ) ( ), ( x v v x u u = = 可导，则 （ 1 ） v u v u ￠ ￠ = ￠ ) ( , （ 2 ） u c cu ￠ = ￠ ) ( （ 3 ） v u v u uv ￠ + ￠ = ￠ ) ( , （ 4 ） ) 0 ( ) ( 2 1 ￠ - ￠ = ￠ v v v u v u v u . ( 是常数) 注意: 分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求. §3.4 反函数的导数 引 言 为了求指数函数、反三角函数的导数公式，我们先介绍反函数的求导法，然后研究指数函数、反三角函数的导数公式. 点 (x, y) 处的切线相同. y ? T A(x,y) x x O ? y 若 y = ? (x) 的反函数 x = f (y) 存在, 则 x = f (y) 与 y = ? (x) 的图形相同, 故 x = f (y) 与 y = ? (x) 在 ? 是 y = ? (x)的图形与x 轴正向的夹角. ? 是 x = f (y)的图形与x 轴正向的夹角. 1. 反函数导数的几何图示 反函数的导数是其直接函数导数的倒数. 2. 反函数的导数存在定理 定理 设单调函数 x = ? (y) 在某区间内可导, ??(y) ? 0 , 则它的反函数 y = f (x) 在相应点x 也可导, 该定理说明：一个函数单调、连续、可导, 则它的反函数存在, 且单调、连续、可导. 例 1 解 2. 反函数求导数的例题 它是 x = sin y 且导数不为0, 上单调、连续、可导, 又 故 解 sin 在 y x = 你觉得做完了吗？ 例 2 而 于是 它是 x = cos y , 解 例 3 故 * *