统计技术-二项分布泊松分布.pptVIP

复习: 贝努利概型: 例: 例: 作业. 在n重复独立试验序列中,如果 (1)每次试验只有两个结果A与A (2)每次试验都有P(A)=p, P(A)=1-p, 则n次试验中恰有k次A发生的概率为 k=1,2,…n 例1 设生男孩的概率为p,生女孩的概率为 q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数. 我们来求X的概率分布. 第四章 几种重要的分布 (一).二项分布X~B(n,p) X的概率函数是： 男 女 X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数， 生男孩的概率为 p. X=0 X =1 X =2 X =3 X =4 X可取值0,1,2,3,4. 用X表示n重贝努里试验中事件A（成功）出现的次数，则 （2） 不难验证： （1） 称X服从参数为n和p的二项分布，记作 X~B(n,p) 当n=1时， P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1 称X服从0-1分布 例 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率. 解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 . X ~ B (3, 0.8)， 把观察一个灯泡的使用 时数看作一次试验, “使用到1000小时已坏” 视为“成功”.每次试验, “成功”的概率为0.8 P(X 1) =P(X=0)+P(X=1) =(0.2)3+3(0.8)(0.2)2 =0.104 对于固定n及p，当k增加时 ,概率P(X=k) 先是随之增加直至 达到最大值, 随后单调减少. 二项分布的图形特点： X~B(n,p) 当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在k=[(n+1)p]达到最大值； ( [x] 表示不超过 x 的最大整数) n=10,p=0.7 n Pk (n+1)p=7.7 那么.n=7 当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k)在 k=(n +1)p和k =(n+1)p-1 处达到最大值. n=13,p=0.5 Pk n 0 (n+1)p=7 那么.n=7或n=6最大 想观看二项分布的图形随参数n,p的具体变化，请看演示 二项分布 二项分布的数学期望与方差 方法一:若 X~B(n,p)， X=0,1,2,….n. k=0,1,2,….n. 方法二. 若 X~B(n,p)， 则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数. X=0,1,2,….n. Xn … X2 X1 设Xi表示第i次成功的次数. 则 X= X1+X2+…+Xn X~B(n,p), 若设 则 X= X1+X2+…+Xn = np i=1,2，…，n 所以 E(X)= 则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数. E(Xi)= = p p 1-p P 1 0 Xi 又:Xi的分布律为: 某地区有500名成年居民,现随机对100名成 年居民作民意测验,有80%的居民支持粮食调价, 试计算该地区平均有多少人支持粮食调价. 解: 设X表示500名成年居民支持粮食调价的人 数. 那么X~B(500,80%) EX= np =500×80%=400(名) 当试验次数n很大时，计算二项概率变得很麻烦，如:要计算 二项分布的泊松近似. 或诸如此类的计算问题，必须寻求近似方法. (二).泊松(Poisson)分布 设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为： 其中 0 是常数,则称 X 服从参数为 的 泊松分布,记作X~P( ). 当λ=2时,泊松分布为: （2） 不难验证： （1） 这是因为: 泊松(Poisson)分布的数学期望与方差. 某电话交换台收到的电话呼叫数； 到某机场降落的飞机数; 一个售货员接待的顾客数; 一台纺纱机的断头数; … 一放射性源放射出的 粒子数； 例如 泊松分布常用于稠密性问题 一个合订本共100页,假定每页上印刷错误的 数目X服从泊松分布(λ=2),计算该合订本中各页 的印刷错误都不超过4个的概率. 解: 由题目X~P(2). P(X≤4)= P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2) + P(X=3)+ P(X=4). 查表求值. =0.135335+ 0.270671+ 0.270671+ 0.180447+0.090224 =0.947348. 所求概率为 (0.947348)100=0.0045. 泊松分布的图形特点： X~P( ) 历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的 . 近数十年来，泊松分布日益显示 其重要性,成为概率论中最重要