测试技术-3-1（Z变换）.pptVIP

六、Z变换 付里叶变换在表达和分析离散时间信号与系统中起着关键的作用。在连续时间信号与系统中，拉普拉斯变换可以看作付里叶变换的一种推广。那么在离散时间信号与系统中，Z变换也可以看作是傅里叶变换的一种推广。因为傅里叶变换不能覆盖所有的时间序列，而且在分析问题时，用Z变换比用傅里叶变换更方便。这里简单介绍Z变换的基本概念。 ★ 前面已给出序列x [ n ] 的付里叶变换的定义： ★ 因而，Z变换运算可看作是序列x [ n ]变换成函数X(Z)，其中Z是一个连续的复变量。序列及其Z变换之间的对应关系表示成为 只有当x[n]=0(n＜0)，双边与单边z变换才等效。本节均指双边z变换。 从方程◆和★可见傅立叶变换与Z变换之间有密切的关系，特别是如果我们用复变量ejw取代方程★中的复变量z，那么z变换就变成付里叶变换。 将复变量z表示成极坐标形式： z = r ejw 则式★变成： 式◎把x[n]的z变换解释成为原始序列x[n]与指数序列r –n 乘积的傅立叶变换，显然，对于r = 1方程◎成为x[n]的傅立叶变换。 由于z变换是一个复变量的函数，因为可以用复z平面方便地表示它。如图2-6-1所示，︱z︱=1在z平面为一个单位半径圆，称为单位圆。在单位圆上的z变换对应于傅立叶变换。图中w是到单位圆上一个z点（z=reJw）的向量与复z平面实轴之间的夹角。 对于任意给定的序列，使式★定义的z变换收敛的z集合为收敛域，即； 或者说，z的取值在z平面上的环状区域，即 RZ-＜︱z︱＜ RZ+ 如图2-6-2所示，式中RZ-可以小到零，RZ+ 可以大到无限大。 有一类重要的z变换，其x（z）是一个有理函数，既z的两个多项式之比。分子多项式的根是使x（z）=0的那些z值，称为x（z）的零点。那些使x（z）为无限大（即使分母多项式为0）的z值，称为x（z）的极点，通常利用z平面上的极点——零点图表示z变换比较直观。例如序列 其z变换为： 当︱z︱＞ ︱a︱时，它是收敛的，把x（z）写成两个多项式之比： 如同傅里叶变换有对应的博里叶反变换那样，z变换也有对应的反变换（或称逆变换）。若己知序列x[n]的z变换及其收敛域，有对应的z反变换。分别表示如下。 例：今有Z变换 Z变换的地位与作用 Z变换是离散信号和离散系统分析的有利的数学公具，它在离散系统中的地位与作用，类似于连续系统中的拉氏变换，它把离散系统的数学模型—差分方程转换为简单的代数方程，使求解过程得到简化。 * 一般说来，这个方程是一个无穷的和，或无穷的幂级数，其中Z是复变量。有时候，把上面的 方程看作是一种把序列变换成一个函数的一种运算，用Z{●}表示z变换运算，定义为 ★ ◆ 1、Z变换与Z反变换 式 定义的z变换称为双边z变换，而单边 z变换定义为 ★★ ◎ 可见X(z)在z＝0处有一个零点，在z＝a处有个极点。零点用0表示，极点用×表示，收敛区用斜线表示，如图6-2-3所示。常用的z变换及其收敛域如下表所列。 上式中，c是x(z)收敛域(RX-，RX+)中一条逆时针的闭合曲线，而∮表示曲线积分。直接计算线积分是比较麻烦的。常用幂级数法求Z反变换。即可以用长除法将x(z)写成幂级数形式，级数的系数就是序列x[n] 。 2、Z变换的性质和定理 * * *