非线性方程求根chap5.pptVIP

第5章 非线性方程求根 非线性科学是当今科学发展的一个重要研究方向，而非线性方程的求根也成了一个不可缺的内容。但是，非线性方程的求根非常复杂。 通常非线性方程的根的情况非常复杂： 无穷组解 无解 一个解 两个解 四个解 所以，只在某个区域内可能存在唯一解，而且经常通过很简单的形式得不到精确解： 因此，通常我们用二分法、迭代法解非线性方程 有根区间的判断： 定理： 5.1二分法 5.1二分法 a b x1 x2 a b 什么时候停止？ 或 x* 5.1二分法検樟残约岸执问? 5.1二分法优缺点 5.2 迭代法 f (x) = 0 x = g (x) 等价变换 f (x) 的根 g (x) 的不动点 思路 从一个初值 x0 出发，计算 x1 = g(x0), x2 = g(x1), ? xk+1 = g(xk), ?若 收敛，即存在 x* 使得 ，若 g 连续，则有 可知 x* = g(x* )，即x* 是 g 的不动点，也就是f 的根。 迭代法的基本步骤如下： 1、给出方程的局部等价形式 2、取合适的初值，产生迭代序列 3、求极限 易知，该值为方程的根 一定收敛吗？ x y y = x x* y=g(x) x0 p0 x1 p1 ? x y y = x x* y=g(x) x0 p0 x1 p1 r 若满足： 1、 2、 可导，且存在正数L1，使得对任意的x，有 定理 ①存在唯一性 ② 做辅助函数 ，则有 所以，存在点 若 ，则有： 又， 则 所以，任意的初值都收敛 证明： ③误差估计 由p的任意性，令 证毕 例：在区间[1,2]上考虑如下两迭代式的敛散性 构造满足定理条件的等价形式一般难于做到。 要构造收敛迭代格式有两个要素： 1、等价形式 2、初值选取 下面我们开始介绍若干种迭代法的构造方法 5.3 Newton迭代法 将f(x)在初值处作Taylor展开 取线性部分作为f(x)的近似，有： 若 ，则有: 记为 x y x* x0 类似，我们可以得到 这样一直下去，我们可以得到迭代序列 1、牛顿迭代法的计算公式 2、牛顿迭代法的收敛速度 函数在x*处作Taylor展开 即 Newton迭代收敛速度快，格式简单，应用广泛 Newton迭代的等价方程为： 所以 若f(x)在x*处为单根，则 3、牛顿迭代法的局部收敛性 注：Newton抯 Method 收敛性依赖于x0 的选取。 x* x0 ? x0 ? x0 例 用Newton迭代法求方程xex-1=0在0.5附近的根,精度要求e=10-5. 解 Newton迭代格式为 0000 -0000.0000000003 0.0000000003 0.5 0000 0 1 2 3 4 |xk-xk-1| ?xk) xk k 4、x*为2重根时迭代格式： 5、牛顿下山法 下山条件： 思考 Newton迭代法收敛，其收敛阶始终为2吗？ 5.4 弦截法 将Newton迭代中的导数，用差商代替f?x)，有格式 是2步格式。收敛速度比Newton迭代慢 x0 x1 切线 割线 定义 　　　设迭代 xk+1 = g(xk) 收敛到g(x) 的不动点 x*。 设 ek = xk - x*，若　　　　　　　，则称该迭代为p 阶收敛。