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数值微分 1.Taylor展开式方法 2.数值微分的插值方法 3.几种常用的求导公式 4.数值微分的隐式格式 §5 Gaussian Quadrature Step 2：求?2 = 0 的 2 个根，即为 Gauss 点 x0 ，x1 Step 3：代入 f (x) = 1, x 以求解 A0 ，A1 解线性方程组，简单。 结果与前一方法相同： ? 利用此公式计算 的值 注：构造正交多项式也可以利用 L-S 拟合中介绍过的递推式进行。 §5 Gaussian Quadrature ? 特殊正交多项式族： ① Legendre 多项式族： 1 ) ( ? x r 定义在[?1, 1]上， 满足： 由 有递推 以 Pn+1 的根为节点的求积公式称为Gauss-Legendre 公式。 ② Chebyshev 多项式族： 2 1 1 ) ( x x - = r 定义在[?1, 1]上， Tn+1 的根为 k = 0, …, n 以此为节点构造公式 称为 Gauss-Chebyshev 公式。 注意到积分端点 ?1 可能是积分的奇点，用普通Newton-Cotes公式在端点会出问题。而Gauss公式可能避免此问题的发生。 其它公式见教材p.281 §5 Gaussian Quadrature ? Gauss 公式的余项： /* 设P为f 的过x0 … xn的插值多项式 */ /*只要P 的阶数不大于2n+1，则下一步等式成立*/ 插值多项式的余项 Q：什么样的插值多项式在 x0 … xn 上有 2n+1 阶？ A：Hermite 多项式！ 满足 数值微分计算方法 * 第4章 数值积分 /* Numerical Integration */ 近似计算 §3.1 Newton-Cotes 公式 思路 利用插值多项式 则积分易算。 ? 在[a, b]上取 a ? x0 x1 … xn ? b，做 f 的 n 次插值多项式 ，即得到 Ak 由 决定， 与 无关。 节点 f (x) 插值型积分公式 /*interpolatory quadrature*/ 误差 §3.1 Newton-Cotes Formulae 定义 　　　若某个求积公式所对应的误差R[ f ]满足：R[ Pk ]=0 对任意 k ? n 阶的多项式成立，且 R[ Pn+1 ] ? 0 对某个 n+1 阶多项式成立，则称此求积公式的代数精度为 n 。 例：对于[a, b]上1次插值，有 考察其代数精度。 f(x) a b f(a) f(b) 梯形公式 /* trapezoidal rule*/ 解：逐次检查公式是否精确成立 代入 P0 = 1： = 代入 P1 = x ： = 代入 P2 = x2 ： ? 代数精度 = 1 §3.1 Newton-Cotes Formulae 注：形如 的求积公式至少有 n 次代数精度 ? 该公式为插值型（即： ） ? 当节点等距分布时： 令 Cotes系数 注：Cotes 系数仅取决于 n 和 i，可查表得到。与 f (x) 及区间[a, b]均无关。 ? 则有 称式(7.4)为Newton-Cotes公式.Ck(n)称为Cotes系数. 例1 设?(x)?C2[a,b],求n=1时的Newton-Cotes公式并估计误差. 解 计算Cotes系数 于是有 从几何上看: 所以公式 ,则有误差估计 若记 o x y a b 也称为梯形公式,记为T. =T 例2 设?(x)?C4[a,b],求n=2时的Newton-Cotes公式并估计误差. 解 计算Cotes系数 y=?(x) 称之为Simpson公式或抛物线公式，记为S. 构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=?(a) ,H3(b)=?(b), 于是有 容易证明Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立,即 这时插值误差为 =S. 于是有