弹力第21讲2010(1).pptVIP

* * 弹性力学(第21讲) 武汉理工大学工程结构与力学系 翟鹏程 pczhai@126.com pczhai@ * 等直杆的扭转问题 泛定方程： 定解条件： 应力分量： 对多连体情形，有 其中： —— 分别为第i个内边界上φ的值和第i个内边界所围的面积。 位移分量： * 扭转应力函数的求解方法 根据扭转应力函数 ? 在侧面边界上应满足： 半逆解法: 由扭转杆件截面边界给出的方程： 设定: 扭转应力函数 ? 为： —— 显然，满足侧面的边界条件 判断：扭转应力函数 ? 是否满足： 若满足，则由此确定待定常数 m，得应力函数 ? (x,y)。 * 一、空心圆截面直杆的扭转 * 例： 图示空心圆截面杆件，外半径为a，内半径为b，试求其扭转剪应力及位移。 解： 求应力函数 ? a b x y 为使 ? 在外边界上的值为零，内边界上的值为常数，可取： 由多连体端部边界条件式得： 于是，得 * 求剪应力 求变形与位移 单位长度扭转角： a b x y * 位移分量： ——刚体位移 由于变形引起的轴向位移： 即平面保持平面假设成立。 a b x y * 二、矩形截面杆的扭转 * y x O A a/2 a/2 问题 图示矩形截面杆： a、b、M 求：杆的应力与位移。 问题的分类 两种情形： a b； —— 狭长矩形 一般情形； * y x O A a/2 a/2 （1）a b 情形： 求应力函数 ? ∵ a b， 由薄膜比拟可以推断， 应力函数? 绝大部分截面几乎不随 x 变化，即不受短边约束的影响，对应的薄膜几乎为一柱面。 ∴可以近似地取： 积分，有 利用边界条件： 可求得： 由 * y x O A a/2 a/2 剪应力分量： 最大剪应力： 杆件的变形 单位长度扭转角： 由 应力函数 ? 可表示为： * y x O A a/2 a/2 （2）任意情形（ a /b= 任意值 ）： 求应力函数 ? 基本方程与边界条件： 此时应力函数 ? 为一般函数： 求解思路： 对狭长矩形结果，进行修正。 将? 分解成两部分，即： 其中：? 1为狭长矩形的应力函数，即： 调整函数F，使其满足边界条件： 将式（g）代入方程： 得到： （g） * y x O A a/2 a/2 因为： ∴有： 表明：F 应为一调和函数。 原问题转化为： 由问题的对称性，F 应为 x、y 的偶函数。 满足上述条件的函数可取为： 代入： * 代入函数F，有 最后确定应力函数? 为： 将上式右边为 级数， 并比较两边系数，有 * 求最大剪应力： y x O A a/2 a/2 由薄膜比拟可以断定，最大剪应力发生在矩形横截面长边的中点（如点A：x = 0 , y = ?b/2）,其大小为： 单位长度扭转角K： 应用： * （m） 代入式（l）, 得最大剪应力公式： y x O A a/2 a/2 （n） 将上述两公式表示成： (10-21) (10-22) 式中：?、?1仅与a / b 有关， 可列表查得。 * 系数 ?、?1 表： a/b ? ?1 a/b ? ?1 1.0 0.141 0.208 3.0 0.263 0.267 1.2 0.166 0.219 4.0 0.281 0.282 1.5 0.196 0.231 5.0 0.291 0.291 2.0 0.229 0.246 10.0 0.312 0.312 2.5 0.249 0.258 ∞ 0.333 0.333 正方形截面杆（a = b）翘曲后截面变形的等高线如图： 实线表示向上翘曲（凸）； 虚线表示向下翘曲（凹）。 * 三、薄壁杆的扭转 * 1. 开口薄壁杆件扭转 分类： （1） 开口薄壁杆件； （2） 闭口薄壁杆件。 —— 仅讨论其自由扭转。 假定： （1）由于杆件壁厚 b 很薄，可近似视其为狭长矩形的组合； （2）曲的狭长矩形与同长度、宽度的直狭长矩形差别不大。 * 扭转剪应力与变形： （a） （b） 由式（b）得： （c） 整个横截面上的扭矩为： （d） 比较式（c）与式（d），有： 将上式代回式（a）（b），有： 该 矩形长边中点附近的剪应力及杆件的扭转角： 设 ai、bi 分别为扭杆横截面的第 i 个狭长矩形的长度和宽度，Mi 为该矩形面积上承受的扭矩（为整个横截面上扭矩的一部分），?i 代表该 矩形长边中点附近的剪应力，K代表该扭杆的单位长度扭转角，则狭长矩形的结果，有 * 由于每个狭长矩形的扭转角相同，所以整个横截面的抗扭刚度为： 说明： （1） 所求的狭长矩形中点处的应力值精度较高；但两个狭长矩形的连接处误差较大，可能发生远大于中点处的应力。 —— 应力集中。 （2） 连接处应力随