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方向导数与梯度 四、小结 * * 一、问题的提出 二、方向导数的定义 三、梯度的概念 四、小结 一、问题的提出 考虑二元函数 z = f ( x , y ) 的偏导数 反映的是函数在水平方向上的变化率。 同理，偏导数 反映的是函数在垂直方向上的变化率。 在实际应用中还会需要考虑函数在斜方向上的变化 率问题，如冷热空气的流动，温度场的变化等等。 二、方向导数的定义 函数在某一方向上的变化率，称为函数在该方向 上的方向导数。 设与 l 同方向的单位向量为 则射线 l 的参数方程为 动点从 沿方向 l 运动到点 P 时，函数产生的增量 称之为函数在 l 方向上的增量。 称之为函数在 l 方向上的平均变化率。 如果极限 存在 l 的参数方程为 则称它为 f ( x , y ) 在点 处沿方向 l 的方向导数。 记为 问题1：方向导数与偏导数的关系？ 问题2：函数沿任意方向的方向导数均存在的条件是 什么？如何计算方向导数？ 如果极限 存在， 则称它为 f ( x , y ) 在点 处沿方向 l 的方向导数。 方向导数就是函数在点 处沿方向 l 的变化率。 （1）在 x 轴的正方向上， 假设 z = f ( x , y ) 在点 偏导数存在 问题1：方向导数与偏导数的关系？ 假设 z = f ( x , y ) 在点 偏导数存在 （2）在 x 轴的负方向上， 问题1：方向导数与偏导数的关系？ （3）同理，在 y 轴的两个方向上 y 轴正方向： y 轴负方向： 结论：如果函数 z = f ( x , y ) 在点 的两个 偏导数 均存在， 则函数在 该点处沿水平和垂直方向的方向导数均存在，且 沿x轴正方向： 沿x轴负方向： 沿y轴正方向： 沿y轴负方向： 问题2：函数沿任意方向的方向导数均存在的条件是 什么？如何计算方向导数？ 函数沿任意方向 l 的方向导数存在，且 其中， 是 l 的方向余弦。 定理：如果 z = f (x , y ) 在点 可微，则 计算可微函数方向导数的步骤 （1）确定给定方向 l 的方向余弦： 即与 l 同方向的单位向量。 （2）计算偏导数 （3）利用公式计算 解： 方向 l 即为 l 的方向余弦即为与 l 同方向的单位向量 对于三元函数 u = f ( x , y , z ) ,它在点 处沿方向 的方向导数定义为 如果 u = f ( x , y , z ) 在点 处可微，则 解： 对于封闭的曲面，上述两个法向量中，一个指向曲面的外侧，另一个则指向曲面的内侧。 令 则曲面上任意一点 P ( x , y , z ) 处的法向量可取为 对于封闭的二次曲面， 指向外侧， 指向内侧。 例2 设 是曲面 在点 处的指向外侧的法向量，求函数 在此处沿方向 的方向导数. 令 故 又 例2 设 是曲面 在点 处的指向外侧的法向量，求函数 在此处沿方向 的方向导数. 解： 的方向余弦，即与 同方向的单位向量为 故 又 例2 设 是曲面 在点 处的指向外侧的法向量，求函数 在此处沿方向 的方向导数. 解： 三、梯度的概念 并称 为 z = f ( x , y ) 在 D 内的梯度场。 梯度与方向导数的关系 是 l 的方向余弦， 为最大值。 结论 函数在梯度方向上的方向导数最大，或者说函数在梯度方向上的增加速度（变化率）最快（最大）。 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值. 梯度的概念可以推广到三元函数 三元函数 在空间区域G内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 ，都可定义一个向量(梯度) 解 由梯度计算公式得 故 1、方向导数的概念 2、梯度的概念 3、方向导数与梯度的关系 （注意方向导数与一般所说偏导数的区别） （注意梯度是一个向量） 函数的增量 与PP`两点间的距离 之比值，当P`沿着L趋于P时，如果此比的极限存在，则称这极限为函数 在点P沿方向L的方向导数。 记为 函数的增量 与PP`两点间的距离 之比值，当P`沿着L趋于P时，如果此比的极限存在，则称这极限为函数 在点P沿方向L的方向导数。 记为 函数的增量 与PP`两点间的距离 之比值，当P`沿着L趋于P时，如果此比的极限存在，则称这极限为函数 在点P沿方向L的方向导数。 记为 函数的增量 与PP`两点间的距离 之比值，当P`沿着L趋于P时，如果此比的极限存在，则称这极限为函数 在点P沿方向L的方向导数。 记为 函数的增量 与PP`两点间的距离 之比值，当P`沿着L趋于P时，如果此比的极限存在，则称这极限为函数