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例5: 半径为R1的导体球Ⅰ, 带有电荷 q; 球外有一内、外半径分别为 R2 、R3 的同心导体球壳Ⅱ, 球壳上带有电荷Q, 如图所示. 解：由于静电感应, 当达到静电平衡时, 导体球壳内表面带电-q, 外表面带电(Q+q). 例1.半径为R且均匀带电 q 的球壳, 计算球外任一点 P(r＞R)处的场强. 若 P点在球心, 则情况如何？ S o R P r 选取高斯面: 取过 P点的同心球面为高斯面 S. 这样, 不仅高斯面上场强大小处处相等, 而且各处场强与面元法向的夹角恒等于零. 解: 对称性分析: 由于电荷分布是球对称的, 场强分布也具有球对称性. 3. 利用高斯定理求电场强度 应用高斯定理: 在所选高斯面上, 由高斯定理有 例2. 半径为 R 且均匀带电 q 的球体, 计算空间任一点 P 处的场强. 解: 对称性分析: 由电荷分布的球对称, 知其场强分布也是球对称的. 选取高斯面: 取过 P点的同心球面为高斯面, 在高斯面上的场强大小处处相等, 方向与球面面元法线方向亦处处相同. S o R P r 应用高斯定理: 在所选高斯面上利用高斯定理 o R P r S 例3. 无穷大均匀带电平板, 面电荷密度为? , 求电场强度. 解: 对称性分析 在带电平板两侧、且与平板距离相等点的场强大小相等, 方向垂直板面向外. P ds ds x o x x o P 选取高斯面: 取底面包含P点的圆柱面为高斯面,其轴线与平板垂直, 两底面面积分别为S1=S2=S,且与板面相距 x, 并设圆柱的侧面面积为S3. 应用高斯定理: 所选高斯面的电通量为 由 可得 由 可得 代入高斯定理有 又由 + + + + + + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - - - - 例4. 求无限长均匀带电直线周围的电场强度与电势分布. 设电荷线密度为 . . . 解. 如图所示, 取通过场点 P、且与带电直线同轴的圆柱面作为高斯面, 其高度为 l , 半径为 r . 由高斯定理可求得 P点的场强为 则 P点的电势为 由上式可见, 无限长均匀带电直导线周围电势的零点既不能选在无限远处, 又不能选在导线上. 否则, 电势函数无意义. 上式中选取距带电直线 r0 处为电势零点. (2) 它们的电势差U1-U2; (3) 球壳Ⅱ外再套一内、外半径分别为 R4 、R5 的同心导体球壳Ⅲ, 壳上带有电荷 Q*. 问此时 U*1、U*2 和U*1–U*2 分别为多少？球壳Ⅲ的电位 U*3 等于多少？ Ⅰ Ⅱ 求: (1) 球体Ⅰ和球壳Ⅱ电位U1与U2; (1) 由高斯定理可得 由于电荷分布在有限空间范围, 故选取无限远为电势零点. o R r U R 0 例4. 半径为 Ra 和 Rb 的两同心、均匀带电球面, 带电量分别为 qa 和 qb . 求空间任一点的电势和两球面的电势差. o Ra qa Rb qb 解: 空间任一点的电势为两球面电荷在该点分别产生的电势之和. 在 区域 在 区域 在 区域 o Ra qa Rb qb Ra Rb r U 两球面的电势分别为 两球面的电势差 Uab 为 (1) Uab与qb无关, 只与内球面的电量及两球面的半径有关. 讨论 (2) qa0, Uab0, UaUb, 即当球面A带正电时, 球面A的电势高于球面B的电势. 用导线连接A、B球面时, 正电荷移向球面B. (3) qa0, Uab0, UaUb, 即当球面A带负电时, 球面A的电势低于球面B的电势. 用导线连接A、B球面时, 负电荷同样移向球面B. 5. 等势面 一定的电荷分布决定电场强度和电势的空间分布. 电场强度的空间分布可以形象地用电场线描述. 同样, 为形象地描述电势的空间分布, 可引入等势面的概念. 等势面的定义: 在静电场中, 电势相等的点构成的曲面. 几种常见电荷分布的电场线与等势面： 正点电荷的电场线和等势面 一对正点电荷的电场线和等势面 电偶极子的 电场线和等势面 平行板带电导体的电场线和等势面 示波管加速和聚焦电场的电场线和等势面 静电场等势面的特征: (1) 等势面与电场线处处正交. (2) 等势面密集的地方电场强度大、等势面稀疏的地方电场强度小. (3) 由等势面的分布可推知电场线的分布, 反之亦然. 电势分布是一标量场, 测量和计算都较容易. 因此, 实际中一般是由等势面推知电场线. 6. 电势梯度和电场强度 根据电势的定义, 当电场强度已知时, 可以求出电势分布. 相反, 若已知电势分布, 如何求电场强度呢？ 考虑在电场中将一试验电荷q0沿任意方向移动一微元位移 电场力做功为 电场强