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北大计算机系多媒体与人机交互 绕任意轴的旋转变换-方法2 这样，可得空间上任一点绕ON轴旋转的变换过程如下 1）首先通过两次旋转，使ON轴与Z轴重合； 2）然后使点绕Z轴旋转?角； 3）最后通过与1）相反的旋转，使ON轴回到原来的位置。 假设，绕Z轴的旋转-?2矩阵为Rz(-?2) 绕Y轴的旋转-?1矩阵为Ry(-?1) 绕Z轴的旋转?矩阵为Rz(?) 绕Y轴的旋转?1矩阵为Ry(?1) 绕Z轴的旋转?2矩阵为Rz(?2) 绕任意轴的旋转变换-方法2 则总体变换矩阵为： T = Rz(?2)·Ry(?1)·Rz(?)·Ry(-?1)·Rz(-?2) 由上推导可看出，只要能求出?1、 ?2的值，即可通过上式获得绕ON轴的变换矩阵。 由于矢量(0,0,1）绕Y轴旋转?1，再绕Z轴旋转?2即可与ON轴重合。即： 绕任意轴的旋转变换-方法2 (a, b, c,1)= (sin?1cos?2 ，sin?1sin?2 ，cos?1，1) a= sin?1cos?2 b=sin? 1sin?2 c =cos?1 所以有： 其中： 从而将z轴上的单位向量[0，0，1]变换为任意单位向量[a，b，c]的变换矩阵为： 可以验证H为一单位正交阵 所以绕任意过原点的轴旋转?角变换矩阵为 T = H·Rz(?)·HT 5.11 坐标系之间的变换 二维几何变换 问题：设xoy坐标系中点P(xp,yp)，求其在xoy坐标系中坐标 P(xp,yp) o x y y0 x0 o x y ? 分析 二维几何变换 p(xp,yp) o x y o (x0,y0) x y ? px py x* y* p* 二维几何变换 可以分两步进行： P(xp,yp) o x y y0 x0 o x y ? x y P1(xp1,yp1) 1) 将 xoy系统坐标原点(x0,y0)平移到xoy系统的坐标原点(0,0) 变换矩阵为 二维变换 P(xp,yp) o x y x y ? x y P1(xp1,yp1) P2(xp2,yp2) 2) 将 x轴旋转到x轴上 变换矩阵为 于是：? 二维变换及二维观察 6.3.8 光栅变换 直接对帧缓存中象素点进行操作的变换称为光栅变换 光栅平移变换： 90°、180°和270°的光栅旋转变换： 6.3.8 光栅变换 任意角度的光栅旋转变换： ? 6.3.8 光栅变换 6.3.8 光栅变换 光栅比例变换： 仿射变换具有平行线不变性和有限点数目的不变性 平移、比例、旋转、错切和反射等变换均是二维仿射变换的特例，反过来，任何常用的二维仿射变换总可以表示为这五种变换的复合。? 6.3.9 变换的性质 二维仿射变换是具有如下形式的二维坐标变换： 直线的中点不变性； 平行直线不变性； 相交不变性； 仅包含旋转、平移和反射的仿射变换维持角度和长度的不变性； 比例变化可改变图形的大小和形状； 错切变化引起图形角度关系的改变，甚至导致图形发生畸变。 二维几何变换具有如下一些性质： 三维几何变换 三维齐次坐标 (x,y,z)点对应的齐次坐标为 标准齐次坐标(x,y,z,1) 右手坐标系 x y z 三维几何变换 变换矩阵 1 平移变换 若点(x,y,z)是由点(x,y,z)在x,y和z轴方向分别移动距离tx, ty和tz得到的，则这两点间的坐标关系为： x = x + tx y = y + ty z = z + tz 该式的矩阵形式为： 2 放大和缩小 设点(x,y,z)经过缩放变换后得到点(x,y,z)，这两点坐标间的关系为： 其中，sx，sy，sz 分别为沿x轴，y轴和z轴方向放大或缩小的比例。它们可以相当，也可以不相等。上式的矩阵形式如下所示： x = sx x y = sy y z = sz z 其中，当Sx = Sy = Sz时，上式的变换是以原点为相似中心的相似变换，这样常使变换后的图形不在原来的位置上。如下所示： y z x 三维变换矩阵-对称变换 在二维变换下，对称变换是以线和点为基准，在三维变换下，对称变换则是以面、线、点为基准的。 对称于XOZ平面 对称于YOZ平面 对称于XOY平面 三维变换矩阵-旋转变换 绕X轴变换 空间上的立体绕X轴旋转时，立体上各点的X坐标不变，只是Y、Z坐标发生相应的变化。 x = x y = ? cos (?+?) = y cos? –z sin? z = ? sin (? +?) = y sin? +z cos? x y z y z (y,z) (y,z) ? ? 矩阵表示为： 三维变换矩阵-旋转变换 遵循右手法则，即若? ?0，大拇指指向轴的方向，其它手指指的方向为旋转方向。 记 三维变换矩阵-旋转变换 绕Y轴旋转 此时，Y坐标不变，X，Z坐标相应变化。 x = ? sin(?