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大理学院本科毕业论文 n阶矩阵的幂运算 The power operation of n-order matrix 学 院： 数学与计算机学院 项目组成员： 自己姓名 指导教师 ： 老师姓名 专 业： 数学专业 年级（班级）： 起止日期 ： 制表日期： 年 月 日 摘要： 一个阶矩阵的幂运算是矩阵论中基本运算问题，在给定的矩阵的阶数较高时，计算量很大。本文针对该问题，结合实例介绍了数学归纳法、二项式展开法、乘法结合律方法、分块对角矩阵法、标准形法、最小多项式法及特殊矩阵法等多种方阵高次幂求解方法，为阶矩阵的幂运算提供一个参照。 关键词： 矩阵的幂；相似矩阵；分块矩阵；标准形；最小多项式；特殊矩阵；图论算法 Abstract： The power operation of a n-order matrix is a fundamental operation in matrix theory.When the given matrix has a high order which will lead to a complex operation.On this question,this paper will introduce many methods to find the solution of high order matrix combine with some living examples,such as mathematical induction,multiplication law of association ,binomial expansion method,block diagonal matrix, Jordan standard form, minimum polynomials method and special matrix which offer a reference to the power operation of n-order matrix. Key words： The power of matrix；similar matrix；partitioning of matrix; Jordan standard form; minimum polynomials; special matrix; algorithm of graph theory 目 录 引言 1 1 预备知识 1 1.1 矩阵的幂的概念及其运算律 1 2 阶矩阵的高次幂的若干算法及应用举例 1 2.1 利用数学归纳法求解方阵高次幂 1 2.2 利用二项式展开法求解方阵高次幂 2 2.3 利用矩阵乘法结合律求解方阵高次幂 3 2.4 利用分块对角矩阵求解方阵高次幂 4 2.5 利用标准形求解方阵高次幂 5 2.6 用最小多项式法求解方阵高次幂 6 2.7 特殊矩阵法求解方阵高次幂 7 2.7.1 对合矩阵 7 2.7.2 幂等矩阵 8 2.8 利用图论算法求解方阵高次幂 9 2.8.1 邻接矩阵 9 2.8.2 的元素的意义 9 3 结束语 10 参考文献 12 致谢 13  引言 矩阵理论是高等代数的主要内容之一。矩阵理论和方法对于图论的研究起了很重要的推动作用，同时也是数学及许多科学领域中的重要工具，它有着广泛的应用。掌握矩阵的运算及它们的运算规律是学习矩阵知识的一个重要环节。矩阵的幂运算以矩阵的乘法运算为基础，而矩阵的幂运算是比较麻烦的，因此，不断寻找简便的算法便成为矩阵幂运算方面的重要课题。 目前，对于矩阵高次幂的运算问题，有许多人进行过研究，本文在此基础上，以分类讨论的思想，系统全面地介绍了一般阶矩阵及一些特殊矩阵的高次幂的求解方法。对简单矩阵的低次幂的求解可直接按矩阵乘法的定义求解，对秩为1的阶矩阵可考虑用矩阵乘法结合律方法求解，另外还有二项式展开法、分块对角矩阵法、一般的阶矩阵可采用标准形法、最小多项式等求解方法，以及特殊矩阵法（如：对合矩阵、幂等矩阵的高次幂求法）、图论算法。 诸方法为阶矩阵的幂运算提供一个参照。在实际应用中，可根据方阵的不同特征采用不同的计算方法以简化计算。 1 预备知识 1.1 矩阵的幂的概念及其运算律 在矩阵的运算中，乘法是经常用到的一种运算。特别地，当一个矩阵为方阵