2018届二轮复习(理)三角函数的图象与性质--学案(全国通用).docVIP

第1讲　三角函数的图象与性质 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性． 2．考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点． 热点一　三角函数的概念、诱导公式及同角关系式 1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．同角基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α. 3．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”． 例1　(1)(2017·江西省百校联盟联考)已知角α的终边经过点(，)，若α＝，则m的值为(　　) A．27 B.C．9 D. 答案　B 解析　由正切函数的定义，可得tan ＝，即m＝，即m＝，所以m＝－6＝3－3＝，故选B. (2)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________． 答案　－1 解析　∵sin α＋2cos α＝0，∴sin α＝－2cos α， ∴tan α＝－2. 又∵2sin αcos α－cos2α＝＝， ∴原式＝＝－1. 思维升华　(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等． 跟踪演练1　(1)(2017届临沂期中)若点在角α的终边上，则sin α的值为(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　sin α＝＝＝cos ＝－， 故选A. (2)如图，以Ox为始边作角α (0απ)，终边与单位圆相交于点P，已知点P的坐标为，则＝________. 答案　 解析　由三角函数定义，得cos α＝－，sin α＝， ∴原式＝＝＝2cos2α＝2×2＝. 热点二　三角函数的图象及应用 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)“五点法”作图： 设z＝ωx＋φ，令z＝0，，π，，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得． (2)图象变换： y＝sin xy＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)． 例2　(1)(2017届宝鸡市教学质量检测)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝cos的图象(　　) A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度 答案　A 解析　y＝cos＝sin＝sin， 所以函数y＝cos的图象向左平移个单位长度得到函数y＝sin的图象，故选A. (2)(2017届安庆二模)设函数y＝sin ωx(ω0)的最小正周期是T，将其图象向左平移T后，得到的图象如图所示，则函数y＝sin ωx(ω0)的单调递增区间是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 答案　A 解析　方法一　由已知图象知，y＝sin ωx(ω0)的最小正周期是2×＝，所以＝，解得ω＝，所以y＝sin x.由2kπ－≤x≤2kπ＋得到单调递增区间是(k∈Z)． 方法二　因为T＝，所以将y＝sin ωx (ω0)的图象向左平移T后，所对应的解析式为y＝sin ω. 由图象知，ω＝，所以ω＝， 所以y＝sinx.由2kπ－≤x≤2kπ＋得到单调递增区间是(k∈Z)． 思维升华　(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． (2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 跟踪演练2　(1)(2017·温州模拟)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝cos 3x的图象(　　) A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度 答案　A 解析　因为y＝cos 3x＝sin＝sin 3，且y＝sin＝sin 3，－＝，所以应将y＝cos 3x的图象向右平移个单位长度，即可得到函数y＝sin的图象．故选A. (2)(2017届陕西省西安市铁一中学模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的部分图象如图，则S＝f(1)＋…＋f(2 017)等于(　　) A．0 B.C. D. 答案　C 解析