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Anneaux de Grothendieck des n-champs d’Artin Bertrand To¨en Laboratoire Emile Picard UMR CNRS 5580 Universit´e Paul Sabatier, Toulouse France September 2005 R´esum´e Nous introduisons un anneau de Grothendieck des champs d’Artin sup´erieurs qui g´en´eralise la notion d’anneau de Grothendieck des vari´et´es. Nous montrons que cet anneau est non trivial en remarquant qu’il factorise l’invariant nombre de points rationels sur un corps fini. Dans une seconde partie nous introduisons la notion de champs sp´eciaux, qui ont des groupes d’homotopie πi affines, et unipotents pour i 1. Notre th´eor`eme principal affirme que le mor- phisme naturel de l’anneau de Grothendieck des vari´et´es vers celui des champs sp´eciaux induit 1 i un isomorphisme apr`es inversion des classes de A et de A − {0} pour i 0. Nous d´eduisons de ceci que de nombreux invariants num´eriques (nombres de Hodge, caract´eristique d’Euler motivique ou l-adique) s’´etendent de fa¸con unique en des invariants de champs sp´eciaux. En particulier, nous obtenons une version de la formule des traces pour les champs d’Artin sp´eciaux de type fini sur un corps fini, qui identifie le nombre de points rationels `a la trace du Frobenius sur la carat´eristique d’Euler l-adique `a support compact. 1 Introduction Les n-champs d’Artin sont des g´en´eralisations des 1-champs1 alg´ebriques au sens de [La-Mo], et qui apparaissent naturellement comme objets repr´esentants certains probl`emes de modules qui ne sont (en g´en´eral) pas repr´esentables par des 1-ch