一个数能用两种不同的方式表示成两个正整数的平方和.docVIP

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2018-05-26 发布于辽宁
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一个数能用两种不同的方式表示成两个正整数的平方和.doc

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PAGE 　　　　 PAGE 1　　　　一个数能用两种不同的方式表示成两个正整数的平方和　　　的充分必要条件　　　　　我们发现，有些数能够用两种不同的方式表示成两个正整数的平方和，例如：　，　　，　，　　　，　　，　，　　，　，　。　　　这样的数有什么特点？一个数能用两种不同的方式表示成两个正整数平方和的充分必要条件是什么？　　　定理（其中都是正整数，，）的充分必要条件是（其中都是正整数，，，，）。　　　证先证明充分性。　设有（其中都是正整数，，，，）。　　　　。　　　令，，，。则有　。　　　因为，，所以，。　　因为，，所以，，所以　　　。　因为，，，所以；因为，，，所以；所以。　再证明必要性。　设有（其中都是正整数，，）。　首先，不可能发生都是偶数而都是奇数，或都是奇数而都是偶数的情况（因为两个偶数平方和是4的倍数，而两个奇数平方和不是4的倍数），所以，在中至少有一个与奇偶相同，不妨设就是。于是有　　　，。　　　因为奇偶相同，奇偶相同，所以都是偶数。　　　不妨设（如果，只要将互换位置就可以了），这时，，，都是正整数。　从可以看出，必有正整数，使得　，，，。这时有　　　，。　　　　　。　假如，则有，即有，与已知矛盾，所以。　　假如，则有，即有，与已知矛盾，所以。　　　因为，所以。　因为，所以。　　