不等式知识点及题型总结.docVIP

不等式 一、知识点： 1. 实数的性质： ；；． 2. 不等式的性质： 性 质 内 容 对称性 ，． 传递性 且． 加法性质 ；且． 乘法性质 ；，且． 乘方、开方性质 ；． 倒数性质 ． 3. 常用基本不等式： 条 件 结 论 等号成立的条件 ，， 基本不等式： 常见变式： ； 4.利用重要不等式求最值a，b都是正数，若ab是实值P，则当a=b=a＋b有最小值2a，b都是正数，若a＋b是实值S，则当a=b=ab有最大值. . 5.一元二次不等式的解法：设a0,x1x2是方程ax2+bx+c=0的两个实根，且x1≤x2，则有 △ △0 △=0 △0 图象 ax2+bx+c=0的解 x=x1或x=x2 x=x1=x2=-b/2a 无实数解 ax2+bx+c0解集 {x︱xx1或xx2} {x︱x≠x1 } R ax2+bx+c0解集 {x︱x1xx2} Φ Φ 结论：ax2+bx+c0；ax2+bx+c0 {x｜－a＜x＜a}； ｜x｜＞a（a＞0）的解集为：{x｜x＞a或x＜－a}。 （2） 7. 不等式证明方法： 基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法 辅助方法：换元法（三角换元、均值换元等）、放缩法、构造法、判别式法 特别提醒：不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，最常用的思路是用分析法探求证明途径，再用综合法加以叙述。我们在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。 例：解下列不等式： (1) ； (2) ；　 (3) ；　 (4) ． 解：(1)方程的解为．根据的图象，可得原不等式的解集是． (2)不等式两边同乘以，原不等式可化为． 方程的解为． 根据的图象，可得原不等式的解集是． (3)方程有两个相同的解． 根据的图象，可得原不等式的解集为． (4)因为，所以方程无实数解，根据的图象，可得原不等式的解集为． 练习1. （1）解不等式；（若改为呢？） （2）解不等式； 解:(1)原不等式 (该题后的答案:). (2)即. 8、最值定理 设、都为正数，则有 ⑴ 若（和为定值），则当时，积取得最大值． ⑵ 若（积为定值），则当时，和取得最小值． 即：“积定，和有最小值；和定，积有最大值” 注意：一正二定三相等 解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题 (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法 (2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法 (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法 (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法 (5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式 (6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论 典型题例示范讲解 例1：如果多项式可分解为个一次式的积，则一元高次不等式（或）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 当分式不等式化为时，要注意它的等价变形 ① ② 用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图． 不等式左右两边都是含有的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解． 例：解不等式：（1）；（2）． 解：（1）原不等式可化为 把方程的三个根顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分． ∴原不等式解集为 （2）原不等式等价于 ∴原不等式解集为 解下列分式不等式： 例：（1）； （2） （1）解：原不等式等价于 用“穿根法” ∴原不等式解集为。 （2）解法一：原不等式等价于 ∴原不等式解集为。 解法二：原不等式等价于 用“穿根法” ∴原不等式解集为 例2：绝对值不等式，解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义 二是根据绝对值的性质：或，因此本题有如下两种解法． 例：解不等式 解：原不等式等价于 即 ∴． 例3：已知f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数，且f(1)=1，若m、n∈［－1，1］，m+n≠0时＞0 (1)用定义证明f(x)在［－1，1］上是增函数； (2)解不等式 f(x+)＜f()； (3)若f(x)≤t2－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求实数t的