2019届高考数学（北师大版文）复习配套练习：第四章　三角函数、解三角形+第6讲　正弦定理和余弦定理+Word版含答案.docVIP

第6讲　正弦定理和余弦定理 一、选择题 1．(2016·合肥模拟)在ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，ABC的面积为，则C＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 解析　法一　S△ABC＝·AB·AC·sin A＝， 即××1×sin A＝，sin A＝1，由A(0°，180°)，A＝90°，C＝60°.故选C. 法二　由正弦定理，得＝，即＝， sin C＝，又C(0°，180°)，C＝60°或C＝120°. 当C＝120°时，A＝30°， SABC＝≠(舍去)．而当C＝60°时，A＝90°， SABC＝，符合条件，故C＝60°.故选C. 答案　C 2．在ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝，a＝2，b＝，则B等于(　　) A. B. C.或 D. 解析　A＝，a＝2，b＝， 由正弦定理＝可得， sin B＝sin A＝×＝.A＝，B＝. 答案　D 3．(2017·成都诊断)在ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 解析　因为cos2＝， 所以2cos2－1＝－1，所以cos B＝， 所以＝，所以c2＝a2＋b2. 所以ABC为直角三角形． 答案　B 4．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＞b”是“cos 2A＜cos 2B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　因为在ABC中，a＞bsin A＞sin Bsin2A＞sin2B2sin2A＞2sin2B1－2sin2A＜1－2sin2Bcos 2A＜cos 2B.所以“a＞b”是“cos 2A＜cos 2B”的充分必要条件． 答案　C 5．(2016·山东卷)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝(　　) A. B. C. D. 解析　在ABC中，由b＝c，得cos A＝＝，又a2＝2b2(1－sin A)，所以cos A＝sin A， 即tan A＝1，又知A(0，π)，所以A＝，故选C. 答案　C 二、填空题 6．(2015·重庆卷)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________. 解析　由3sin A＝2sin B及正弦定理，得3a＝2b，又a＝2，所以b＝3，故c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋9－2×2×3×＝16，所以c＝4. 答案　4 7．(2017·江西九校联考)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则SABC＝________. 解析　因为角A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°.由正弦定理，得＝，解得sin A＝，因为0°＜A＜180°，所以A＝30°或150°(舍去)，此时C＝90°，所以SABC＝ab＝. 答案　 8．(2016·北京卷)在ABC中，A＝，a＝c，则＝________. 解析　在ABC中，a2＝b2＋c2－2bc·cos A， 将A＝，a＝c代入，可得(c)2＝b2＋c2－2bc·，整理得2c2＝b2＋bc.c≠0，等式两边同时除以c2，得2＝2＋，可解得＝1. 答案　1 三、解答题 9．(2015·天津卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－. (1)求a和sin C的值； (2)求cos的值． 解　(1)在ABC中，由cos A＝－， 可得sin A＝. 由SABC＝bcsin A＝3， 得bc＝24，又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4. 由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得a＝8. 由＝，得sin C＝. (2)cos＝cos 2A·cos －sin 2A·sin ＝(2cos2A－1)－×2sin A·cos A＝. 10．(2015·全国卷)在ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，BD＝2DC. (1)求； (2)若BAC＝60°，求B. 解　(1)由正弦定理得 ＝，＝. 因为AD平分BAC，BD＝2DC，所以 ＝＝. (2)因为C＝180°－(BAC＋B)，BAC＝60°， 所以sin C＝sin(BAC＋B)＝cos B＋sin B. 由(1)知2sin B＝sin C，所以tan B＝， 即B＝30°.11．(2017·广州调研)已知锐角三角形的边长分别为1,3，x，则x的取值范围是(　　) A．(8,10) B．(2，) C．(2，10) D．(，8) 解析　因为31， 所以