2019届高考数学（北师大版文）复习讲义：第四章　三角函数、解三角形+第7讲　解三角形应用举例.7+Word版含答案.docVIP

§4.7　解三角形实际应用举例 必威体育精装版考纲 考情考向分析 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主，常与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，加强数学知识的应用性．题型主要为选择题和填空题，中档难度. 实际测量中的常见问题 求AB 图形 需要测量的元素 解法 求竖直高度 底部 可达 ∠ACB＝α， BC＝a 解直角三角形AB＝atan α 底部不可达 ∠ACB＝α，∠ADB＝β， CD＝a 解两个直角三角形AB＝ 求水平距离 山两侧 ∠ACB＝α， AC＝b，BC＝a 用余弦定理AB＝ 河两岸 ∠ACB＝α，∠ABC＝β， CB＝a 用正弦定理AB＝ 河对岸 ∠ADC＝α，∠BDC＝β，∠BCD＝δ，∠ACD＝γ， CD＝a 在△ADC中，AC＝； 在△BDC中，BC＝； 在△ABC中，应用 余弦定理求AB 知识拓展 实际问题中的常用术语 1．仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)． 2．方向角 相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． 3．方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． 4．坡度(又称坡比) 坡面的垂直高度与水平长度之比． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　×　) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　×　) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　√　) (4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.(　√　) 题组二　教材改编 2.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为 m. 答案　50 解析　由正弦定理得＝， 又∵B＝30°， ∴AB＝＝＝50(m)． 3.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝米． 答案　a 解析　由题图可得∠PAQ＝α＝30°， ∠BAQ＝β＝15°，△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°， 又∠PBC＝γ＝60°， ∴∠BPA＝－＝γ－α＝30°， ∴＝，∴PB＝a， ∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋asin β ＝a×sin 60°＋asin 15°＝a. 题组三　易错自纠 4．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC等于(　　) A．10° B．50° C．120° D．130° 答案　D 5.如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝. 答案　a 解析　由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形， AD＝a，所以在Rt△ADB中，AB＝AD＝a. 6．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东，速度的大小为 km/h. 答案　60°　20 解析　如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos 120°＝1 200，故OC＝20，∠COy＝30°＋30°＝60°. 题型一　求距离、高度问题 1．在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为(　　) A. km B.km C. km D．2 km 答案　A 解析　如图， 在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°， ∴＝， ∴AC＝2×＝(km)． 2.(2017·郑州一中月考)如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，则山高CD＝. 答案　 解析　由已知得，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β. 在△ABC中，由正弦定理得＝， 即＝， ∴AC＝＝. 在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝. 故山高CD为. 3．(2018·枣庄模拟)如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，之后它继续沿正北方向匀