2019届高考数学（北师大版文）复习讲义：第九章　平面解析几何+高考专题突破五+Word版含答案.docVIP

高考专题突破五　高考中的圆锥曲线问题 【考点自测】 1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a0，b0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　B 解析　由y＝x，可得＝.① 由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)， 可得a2＋b2＝9.② 由①②可得a2＝4，b2＝5. 所以C的方程为－＝1.故选B. 2．(2017·全国Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意知，以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b， ∴＝， ∴e＝＝＝＝＝. 故选A. 3．(2017·全国Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　) A．16 B．14 C．12 D．10 答案　A 解析　因为F为y2＝4x的焦点， 所以F(1,0)． 由题意知直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，故直线l1，l2的方程分别为y＝k(x－1)，y＝－(x－1)． 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. 显然，该方程必有两个不等实根． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1， 所以|AB|＝·|x1－x2| ＝· ＝·＝. 同理可得|DE|＝4(1＋k2)． 所以|AB|＋|DE|＝＋4(1＋k2) ＝4 ＝8＋4≥8＋4×2＝16， 当且仅当k2＝，即k＝±1时，取得等号． 故选A. 4．(2017·北京)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________. 答案　2 解析　由双曲线的标准方程知a＝1，b2＝m，c＝， 故双曲线的离心率e＝＝＝， ∴1＋m＝3，解得m＝2. 5．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________． 答案　y＝±x 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0， 显然，方程必有两个不等实根． ∴y1＋y2＝.又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|， ∴y1＋＋y2＋＝4×，即y1＋y2＝p， ∴＝p，即＝，∴＝， ∴双曲线的渐近线方程为y＝±x. 题型一　求圆锥曲线的标准方程 例1 (2018·佛山模拟)设椭圆＋＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋y2＝1 D.＋y2＝1 答案　A 解析　∵|BF2|＝|F1F2|＝2，∴a＝2c＝2， ∴a＝2，c＝1，∴b＝，∴椭圆的方程为＋＝1. 思维升华求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、简单性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程． 跟踪训练1　已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1 答案　D 解析　双曲线－＝1的一个焦点为F(2,0)， 则a2＋b2＝4，① 双曲线的渐近线方程为y＝±x， 由题意得＝，② 联立①②解得b＝，a＝1， 所求双曲线的方程为x2－＝1，故选D. 题型二　圆锥曲线的简单性质 例2 (1)(2018届辽宁凌源二中联考)已知双曲线C：－＝1(a0)的一个焦点为(5,0)，则双曲线C的渐近线方程为(　　) A．4x±3y＝12 B．4x±y＝0 C．16x±9y＝0 D．4x±3y＝0 答案　D 解析　由题意得c＝5，则a2＝c2－16＝9，即a＝3，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，即4x±3y＝0，故选D. (2)(2016·天津)设抛物线(t为参数，p0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为________． 答案　 解析　由(p0)消去t可得抛物线方程为y2＝2px(p0)， ∴F， 又|CF|＝2|AF|且|CF|＝＝3p， ∴|AB|＝|AF|＝p， 可得A(p，p)． 易知△AEB∽△FEC， ∴＝＝，