开侨中学2018届高三理科数学第六周星期日晚练习.docVIP

2018届高三理科数学星期日晚练习（4月8日） 1、已知等比数列中，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下： 包裹重量（单位：） 1 2 3 4 5 包裹件数 43 30 15 8 4 公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：包裹件数范围 包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450 天数 6 6 30 12 6 以上数据已做近似处理，并将频率视为概率. （1）计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在之间的概率； （2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值； ②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？ 3、如图，在多面体中，四边形为菱形，，且平面平面. （1）求证：； （2）若，求二面角的余弦值. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数，），将曲线经过伸缩变换：得到曲线. （1）以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，求的极坐标方程； （2）若直线（为参数）与相交于两点，且，求的值. 1.解：（1）设等比数列的公比为，则， 因为，所以， 因为，解得， 所以； （2）， 设，则， . .解：（1）样本中包裹件数在之间的天数为48，频率， 故可估计概率为， 显然未来3天中，包裹件数在之间的天数服从二项分布， 即，故所求概率为； （2）①样本中快递费用及包裹件数如下表： 包裹重量（单位：） 1 2 3 4 5 快递费（单位：元） 10 15 20 25 30 包裹件数 43 30 15 8 4 故样本中每件快递收取的费用的平均值为（元）， 故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元. ②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加（元）， 将题目中的天数转化为频率，得 包裹件数范围 包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450 天数 6 6 30 12 6 频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1 若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下： 包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450 实际揽件数 50 150 250 350 450 频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1 故公司平均每日利润的期望值为（元）； 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下： 包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450 实际揽件数 50 150 250 300 300 频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1 故公司平均每日利润的期望值为（元） 因，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利. .（1）证明： 连接，由四边形为菱形可知， ∵平面平面，且交线为， ∴平面，∴，又，∴， ∵，∴平面， ∵平面，∴； （2）解：设，过点作的平行线， 由（1）可知两两互相垂直， 则可建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 取，则为平面的一个法向量， 同理可得为平面的一个法向量.则， 又二面角的平面角为钝角，则其余弦值为. 解：（1）的普通方程为， 把代入上述方程得，， ∴的方程为，令， 所以的极坐标方程为； （2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为， 由，得，由，得， 而，∴， 而，∴或.