沪教版七年级下册14.1三角形的内角和(基础)知识讲解.docVIP

三角形的内角和（基础）知识讲解 【学习目标】 1．理解三角形内角和定理的证明方法； 2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质； 3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题. 【要点梳理】 要点一、三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点二、三角形的外角 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 要点诠释： (1)外角的特征：顶点在三角形的一个顶点上一条边是三角形的一边另一条边是三角形某条边的延长线．【典型例题】类型一、 1．证明：三角形的内角和为180°. 【答案】 证法1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB．因为AB∥CD（已作），所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）． 又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义）， 所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）． 证法2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB于点F． 因为DF∥AC（已作）， 所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）． 因为DE∥AB（已作）． 所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）． 所以∠A=∠2（等量代换）． 又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义）， 所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）． 证法3：如图3所示，过A点任作直线，过B点作∥，过C点作∥， 因为∥（已作）． 所以∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）． 同理∠3=∠4． 又∥（已作）， 所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）． 所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）． 又∠2+∠3=∠ACB， 所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）． 证法4：如图4，将ΔABC的三个内角剪下，拼成以C为顶点的平角. 证法5：如图5－1和图5－2，在图5－1中作∠1＝∠A，得CD∥AB，有∠2＝∠B；在图5－2中过A作MN∥BC有∠1＝∠B，∠2＝∠C，进而将三个内角拼成平角. 【总结升华】2.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数． 【】【答案】【总结升华】ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数. 【答案】已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A 设∠A=x 则∠C=∠ABC=2x x+2x+2x=180° 解得：x=36° ∴∠C=2x=72° 在△BDC中， BD是AC边上的高∴∠BDC=90° ∴∠DBC=180°－90°-72°=18° 类型二、3.（1）如图，AB和CD交于交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ． （2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B +∠C． 【答案与解析】 解：（1）如图，在△AOC中，∠COB是一个外角，由外角的性质可得：∠COB＝∠A＋∠C， 同理，在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D， 所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D． （2）A＋∠B ①； 在△DCE中，∠BDC＝∠BEC＋∠C ②， 将①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，即得证． 【总结升华】“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D； （2）“燕尾形图”：∠D=∠A＋∠B +∠C． 举一反三： 【变式1】（新疆）如图，ABCD，AD和BC相交于点O，A＝40°，AOB＝75°则C等于（　　） A、40° B、65°C、75° D、115° B 【变式2】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为　　度．  如图连接CE， 根据三角形的外角性质得∠1=∠A+∠B=∠2+∠3， 在△DCE中有，∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°， ∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°． 类型三、4.如图，∠ABC=38°，∠ACB=100°，AD平分∠BAC，AE是BC边上的高，求∠DAE的度数． 【】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，由角平分线的定义得出∠BAD的度数，根据三角形外角的性质求出∠ADE的度数，由两角互补的性质即可得出结论． 解：∵∠ABC=38°，∠ACB=100°（己知） ∴∠BAC=180°﹣38°﹣100°=42°（三角形内角和180°）． 又∵AD平分∠BAC（己知）， ∴∠BAD=21°， ∴