9函数的连续性运算性质和初等函数连续性.pptVIP

第九节 连续函数的运算 与初等函数的连续性 一.连续函数的四则运算 二.反函数的连续性 三 复合函数的连续性 四 初等函数的连续性 回忆函数极限的四则运算 则 设函数 f (x)、 g(x)在点 x0 处极限存在,即 回忆函数极限的四则运算 则 现在怎么说? 设函数 f (x)、 g(x)在点 x0 处极限存在,即 设函数 f (x)、 g(x)在点 x0 处连续,即 一.连续函数的四则运算 设函数 f (x)、 g(x), fi (x) 在点 x0 处连续, 则 即 有限个在点 x0 处连续函数的和仍是一个 在点 x0 处连续的函数. 即 (2) 有限个在点 x0 处连续的函数之积仍是一个在点 x0 处的连续函数. 即 (3) 两个在点 x0 处连续函数的商, 当分母不为 零时, 仍是一个在点 x0 处连续函数. 即 二.反函数的连续性 y = f －1(x) 的图形只是 y = f (x) 的图形绕直线 y = x 翻转 180o 而成, 故单调性、连续性仍保持. 从几何上看: x = f －1(y) 与 y = f (x) 的图形相同, 连续性保持. 从而, 单调性、 设函数 y = f (x) 在区间 I 上严格单调增加 (减少) 且连续, 则其反函数 在相应的 区间 I* = { y | y = f (x) , x?I } 上严格单调增加 (减少) 且连续. 定理 3 (反函数连续性定理) x y 1 ?1 O x y 1 ?1 O 例11 设函数 u = ? (x) 在点 x0 处连续, 且 u0 = ? (x0) , 函数 y = f (u) 在 u0 处连续. 若复合函数 y = f (? (x)) 在 U(x0) 内 则 y = f (? (x)) 在 x0 点处连续. 有定义, 这个条件有必要吗？ 定理 4 (复合函数连续性定理) 三.复合函数的连续性 u = cos x ?1 是在定义域内 的定义域是一个孤立点集 D = { x | x = 2k? , k?Z } 从而, 函数 在其定义域内的 但由它们构成的复合函数 连续的函数, 每一点均不连续. 例12 在定理 4 的条件下, 在定理4 的条件下, 极限符号可与连续函数 符号交换顺序. 推论 求 例13 解 设函数 u = ? (x) 的极限存在： 函数 y = f (u) 在点 u = a 处连续. 复合函数 f (? (x)) 当 x ? x0 时的极限存在, 且 若复合函数 f (? (x)) 在 内有定义, 则 定理 5 求 y = ln u 在其定义域内连续, 故 （ y = ln u 在 u = 1 处连续） 例14 解 由定理 5 容易得到下面几个幂指函数的极限公式： 函数 g(x)h(x) 称为幂指函数 , 它的定义域 一般应要求 g(x) 0. 时, 幂指函数 g(x)h(x) 也是连续函数. 当 g(x) 与 h(x) 均为连续函数, 且 g(x) 0 (3) (2) (1) 例15 四.初等函数的连续性 基本初等函数在其定义域内是连续的. 初等函数在其有定义的区间内连续. 注意两者的区别！ 求 连续性给极限运算带来很大方便. 例16 解 所以在其上是连续的. 例17 解 处连续即可. 即应有 解此方程组得所求: