5第5章特征值与特征向量.pptVIP

* * * * * * * * * -*- 例3 矩阵 是否可角化？ 解 由 得A的特征值为 只需考察二重特征值 的几何重数是否等于2. 易知 故二重特征值 的几何重数为 A不可对角化. -*- 例4 设 ，问 x 为何值时，A 可角化？ 解 由 得A的不同的特征值为 A可对角化的充要条件是 ，即 . -*- 例5 设 A 是 n 阶的幂等矩阵（即 ），证明 A 必可对角化，并求出相应的对角矩阵. 证 由前面的结果知 A 的特征值只可能为 0 或 1，且 特征值 的几何重数为 ，特征值 的几何重数为 . 故 A 有 个线性无关的特征向量. 从而 A 可对角化.且相应的对角矩阵为 -*- 作业 P139 练习5.2 4 5 6 P128-129 练习5.1 2 4 6 P146 习题五 6 8 9 -*- 应用题举例 例1（见§5.1引例1） 求解差分方程： 则 解 记 直接计算 比较困难, 先把 A 对角化. 计算得 A 的特征值与特征向量为 -*- 令 则 且 -*- 得 例如 注 它们确实都是正整数! 再由 -*- 例2 求解下面微分程组： 解 记 则微分方程组可写成 -*- 令 则 矩阵A是可角化的，可求得 即 解得 -*- 由 ，得 为任意常数. -*- 例3（马尔可夫链）一个汽车商出租四种类型的汽车：四门轿车、运动车、小货车、多功能车（SUV）. 出租的租期为2年. 统计表明, 80%现在租用轿车的顾客将在下一个租期继续租用它, 10%现在租用运动车的顾客将改租轿车, 5%现在租用小货车的顾客将改租轿车, 5%现在租用SUV的顾客将改租轿车. 这些结果汇总在下表的第一行. 表中每二行、第三行、第四行分别给出下一次租用运动车、小货车、SUV的百分比. 轿车 运动车 小货车 SUV 轿车 0.80 0.10 0.05 0.05 运动车 0.10 0.80 0.05 0.05 小货车 0.05 0.05 0.80 0.10 SUV 0.05 0.05 0.10 0.10 -*- 假设初始时出租200轿车, 其他三种车各100辆. 若令 表示租用每一种汽车的人数所占比例 . 再令 表示两年后(一个租期)租用每一种汽车的人数所占比例. -*- 为求将来的比例, 可令 称一个只含非负分量且各分量总和为1的向量为概率向量. 称以概率向量为列构成的方矩阵为概率转移矩阵. 上面矩阵A是概率转移矩阵. 由(1)产生的向量 称为状态向量, 状态向量序列 称为马尔可夫链. 显然， 都是概率向量. 我们要求这个过程长时间的状态，即 递推得 -*- 将A对角化 其中 -*- 因此 * * * * * * * * * * * * * * * * * 第5章 特征值与特征向量 §5.2 方阵的对角化 §5.1 特征值与特征向量的概念与性质 发展阅读5.1 Jordan标准形简介 发展阅读5.2 特征值的估计 -*- §5.1 特征值与特征向量的概念与性质 矩阵的特征值与特征向量都有着广泛和重要的应用。如： ◆工程技术中的振动问题; ◆数值计算中的稳定性问题； ◆经济学中的主成分分析(PCA); ◆微分方程组的求解; ◆有哪些信誉好的足球投注网站引擎中的网页排序 . -*- 引例1 (物种繁衍问题) 假设刚出生的雌雄一对小兔过两个月就能生下雌雄一对小兔, 此后每月生下一对雌雄小兔. 如果养了初生的一对小兔, 问 k 个月后共可得多少对兔子. 它满足（令 ） 解 设第 个月共有 对兔子. 则数列 为 上述数列 称为斐波那契（Fibonacci）数列 .方程(1)称为差分方程. 如何求解差分方程(1)？ -*- 经计算得 通过矩阵特征值与特征向量的知识可求得 由 记 则 -*- 引例2 (条件极值问题) 设 n 元函数 这里 .求 f 在单