3.2011年随机过程第3章.pptVIP

2.2 泊松（Poisson)过程的基本性质 一、泊松（Poisson)过程数字特征 设 是泊松过程，由定义，当 故 例：P35 例8 设 为具有强度函数 的非时齐Poission过程，求 例9 设某路公共汽车从早晨5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时按平均乘客为200人/时；5时到8时乘客平均到达率按线性增加，8时到达率为1400人/时； 8时到18时保持平均到达率不变； 18时到21时从达率1400人/时按线性下降， 21时到达率为200人/时。假定乘客数在不相重叠时间间隔内是相互独立的，求12时到14时有2000人来站乘客的概率，并求这两个小时内来站乘客人数的数学期望。 P38 * 主讲教师：蔡吉花 黑龙江科技学院 第3章 泊松（Poisson)过程 1．计数过程 则 且满足： 3.1 Poisson过程定义和例子 注： 1. 如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独 立的，则称计数过程为独立增量过程。 2．泊松过程定义1 满足 2. 若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程是平稳增量过程。 则称 说明 要确定计数过程是泊松过程，必须证明它满足三个条件： 为此给出一个与泊松过程等价的定义 注意： 从条件（3）可知泊松过程有平稳增量，且 并称 速率或强度 （单位时间内发生的事件的平均个数） 则称 满足 3、泊松过程等价的定义2 以下证明泊松过程2种定义等价：由(3)(4)成立 例1 已知商店上午9：00开门，试求到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。 解 设 表示在时间t时到达的顾客数 若连续型随机变量X的概率密度为 分布函数为 则称X具有参数为 的指数分布。 数字特征 1、指数分布 二、到达时间间隔与等待时间的分布 2、到达时间间隔的分布 定义 则称 则称 定理1 证 或 那么类似地有 （增量的独立性） （独立增量过程） 首页 可见 一般地 首页 这就证明了到达时间间隔序列 是相互独立同分布的随机变量序列，且都具有相同均值为 的指数分布。 例3 甲、乙两路公共汽车都通过某一车站，两路汽车的到达分别服从10分钟1辆（甲），15分钟1辆（乙）的泊松分布。假定车总不会满员，试问可乘坐甲或乙两路公共汽车的乘客在此车站所需等待时间的概率分布及其期望。 解 反映甲、乙两路公共汽车到达情况的泊松分布 下面证明两路车混合到达过程 服从强度为 首页 事实上 2) 因此 由定理1知公共汽车的到达时间间隔服从均值为6分钟的指数分布。 再由指数分布的无记忆性， 这位乘客的等待时间也服从均值为6分钟的指数分布。 定理3.3 其概率密度为 证 因为 所以 首页 3、等待时间的分布 于是 它是n个相互独立的服从指数分布的随机变量之和的概率密度 定理3.4 概率密度为 注 在N(t)=n下 独立且同时服从(0,t]上的均匀分布。