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* * 第四节 函数展开成幂级数 一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 预备知识： 1.泰勒公式： 若函数 在 某邻域内有直到 阶的导数， 则 ——拉格郎日余项 2.级数收敛的必要条件 3.幂级数及其和函数的性质 一、泰勒级数 泰勒公式： 若函数 在 某邻域内有直到 阶的导数，则 ——拉格郎日余项 (1) 其误差为: (2) 问题：给定函数 是否能找到一个幂级数，它在某个区间 内收敛，且其和恰好是给定的函数 若能找到这样的幂级数，则说函数f (x)在该区间内能展开成 幂级数. 若 在 某邻域内有任意阶导数， 称 (3) 为 的泰勒级数。 问题: （2）若级数(3)收敛, 是否收敛于 时, 级数(3)是否收敛? （1） 定理: 成泰勒级数(3)的充分必要条件是 则 在该邻域内能展 在 某邻域内有任意阶导数， 设 当 时， 级数(3)收敛于 显然: ? 证 必要性 设 在该邻域内能展成泰勒级数(3) 记 由(1)式知, 所以, 充分性 设 所以 证毕. 即 内 若 在 的某邻域 能展成 的幂级数, 则 得证 即 在(3)中,特别地 (4) 称为函数 的麦克劳林级数。 若 能展成 的幂级数， 则展开式唯一, 就是它的麦克 劳林级数。 二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法， (1).求出 的各阶导数: (2).求函数及各阶导数在 处的函数值: (3).写出幂级数: 并求出收敛半径 R. 按以下步骤进行：（展成关于x的幂级数） 若 则 (4).考察当 时, 在0与 x之间）是否为零? 否则幂级数不收敛于 例1.将函数 展开成 的幂级数. 解 考察级数 级数 收敛, 所以 ① ② 的麦克劳林级数为: ③ ④ 例2.将函数 展成 的幂级数. 解 的麦克劳林级数为: ① ② ③ ④ 2. 间接展开法 常用的已知函数展开式有: 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算法则 逐项求导、逐项求积）, 将所给函数展成幂级数。 （四则法则, 例3.将函数 展开成 的幂级数. 解 由 知 例4.将函数 展开成 的幂级数。 解 由 两边求导得 若 内的已得到展式： （1）级数 处仍收敛； （2） 处有定义且连续, 则展式 处也成立. 说明 例5.将函数 展开成 的幂级数。 解 即 由 知 当 时, 收敛, 当 时, 收敛, 所以 注意：经过求导或求积后得到的展式, 必须考虑在端点的情况. 例6.将函数 展开成 的幂级数。 解 两边积分得 因 所以 在 处有定义且连续， 例7.将函数 展开成 的幂级数。 解 两边积分得 当 时, 当 时, 发散, 收敛. 在 处有定义且连续， 例8 将函数 展开成 x 的幂级数. 解 因为 于是得级数 下面证明 因此, 对于任意常数m 这级数在开区间(-1,1)内收敛, 函数为 设其和 令 ? ? ? 要证 只须证 即 上面的展开公式叫做二项展开式 。 当 m 为正整数时 二项式定理. 特别地: 在区间的端点, 展开式是否成立要看m 的数值而定. 当 时， 当 时， 当 时， 注: 当 时, 当 时, * * * * *