华师大版八年级下册192菱形的判定.pptVIP

19.2.2 菱形的判定 A B C D O 菱形的两条对角线互相平分且垂直 并且每一条对角线平分一组对角； 菱形是轴对称图形， 也是中心对称 图形 菱形的性质 边 角 对角线 菱形的两组对角相等 对称性 ∵ABCD是菱形 ∴AB=BC=CD=DA AB∥DC,AD∥BC 菱形的两组对边平行 且四条边都相等； ∴∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA ∴AC⊥BD AC平分∠DAB和∠DCB BD平分∠ADC和∠ABC 判定１ A B C D ∵平行四边形ＡＢＣＤ，ＡＢ＝ＢＣ， ∴四边形ＡＢＣＤ是菱形。 特殊性质１ 判定２ A B C D 已知：四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ； 求证：四边形ＡＢＣＤ是菱形。 证明： ∵ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ＤＡ； ∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形。 ∵ＡＢ＝ＢＣ， ∴四边形ＡＢＣＤ是菱形。（判定１） 特殊性质２ 判定３ 已知：平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ⊥ＢＤ，垂足为Ｅ； 求证：四边形ＡＢＣＤ中菱形、 证明：在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＥ＝ＥＣ， ∵ＡＣ⊥ＢＤ， ∴ＡＤ＝ＣＤ。 ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＡＤ＝ＣＤ， ∴四边形ＡＢＣＤ是菱形。（判定２） 菱形的判定 例１、如图，在矩形ＡＢＣＤ中，点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是四条边的中点，试问四边形ＥＦＧＨ是什么图形？并说明理由。 解：在矩形ＡＢＣＤ中， ∠Ａ＝ ∠Ｂ，ＡＤ＝ＢＣ； ∵Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ是四条边的中点， ∴ＡＥ＝ＥＢ，ＡＨ＝ＢＦ， ∴ △ＡＥＨ≌ △ＢＥＦ（ＳＡＳ） ∴ＥＨ＝ＥＦ； 同理可得：ＥＦ＝ＦＧ，ＦＧ＝ＨＧ， ∴ＥＨ＝ＥＦ＝ＦＧ＝ＧＨ， ∴四边形ＡＢＣＤ是菱形。 例２、如图，已知矩形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ的垂直平分线与边ＡＤ、ＢＣ分别交于点Ｅ、Ｆ。 求证：四边形ＡＥＣＦ的菱形。 证明：在矩形ＡＢＣＤ中， ∵ＡＤ∥ＢＣ， ∴ ∠ＤＡＣ＝ ∠ＢＣＡ， ∠ＡＥＦ＝ ∠ＣＦＥ 又∵ＥＦ平分ＡＣ， ∴ＯＡ＝ＯＣ， △ＡＯＥ≌ △ＣＯＦ（ＡＡＳ） ∴ＯＥ＝ＯＦ。 ∵ＯＡ＝ＯＣ，ＯＥ＝ＯＦ， ∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形。 ∵平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ⊥ＥＦ， ∴四边形ＡＢＣＤ是菱形。（判定３） 例３、试说明菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半。 已知：菱形ＡＢＣＤ，ＡＣ和ＢＤ是对角线，交于点Ｅ。 求证：Ｓ菱形ＡＢＣＤ＝ 证明：在菱形ＡＢＣＤ中， ∵ＡＣ⊥ＢＤ，ＢＥ＝ＤＥ， ∴Ｓ菱形ＡＢＣＤ＝Ｓ△ＡＢＣ+Ｓ△ＡＤＣ ＝ 例４、如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，∠BAC的平分线交CD于E，交BC于F，FG⊥AB于G． 求证：四边形EGFC为菱形． C F G B D A E ∵ ∠3= 90°－∠1, ∠4= 90°－∠2, ∴ CE=CF （等腰三角形的定义） ∴ ∠3= ∠4 C F G B D A E １ ２ ３ ４ ∵ AF是∠BAC的平分线， （角平分线的定义） ∴ ∠1= ∠2 ∵ FC⊥AC， FG⊥AB， AF是∠BAC的平分线， ∴ FC=FG （角平分线的性质） ∵ FG⊥AB， CD⊥AB， ∴ CD∥FG （垂直于同一条直线的两条直线平行） 证明： ∴ ＥC=FG （等量代换） 1、下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是( ) A、对角线互相平分的四边形 B、对角线互相垂直且平分的四边形 C、对角线相等的四边形 D、对角线相等且互相垂直的四边形 B A O D C B ２、下列三个图形都是菱形吗?为什么？ 5 5 3 4 3 4 5 5 5 5 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 有四条边相等的四边形是菱形。 3 3 4 4 ┍ 3 、□ABCD的对角线AC与BD相交于点O， （1）若AB=AD，则□ABCD是 形；（2）若AC=BD，则□ABCD是 形；（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形；（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 形。 A B C D O 矩 菱 矩 菱 ４、如图， 平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=8，DB=6； 求证:四边形ABCD是菱形. A B C D O ５、已知：如图,□ ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F． 求证：四边形AFCE是菱形 A B F C D E O ∟ ６、如图，已知在□ABCD中，AD=2AB，E、F在直线AB上，且AE=AB=BF，说明CE⊥DF. A B F N D M E C A B C D O E ７.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC,CE ∥B