固体物理第13讲晶体热容的量子理论和晶格振动模式密度.pptVIP

* * 第十三讲 晶体热容的量子理论和晶格振动模式密度 一、 晶体热容的量子理论 固体的定容热容 — 固体的平均内能 —— 固体内能包括晶格振动的能量和电子热运动的能量 实验结果：低温下，金属的热容 —— 温度不是太低的情况，忽略电子对比热的贡献 —— 电子对比热的贡献 —— 晶格振动对比热的贡献 晶格振动对热容的贡献 —— 经典理论 一个简谐振动平均能量 N个原子，总的平均能量 摩尔固体热容 —— 杜隆－ 珀替定律 —— 实验表明在低温时，热容量随温度迅速趋于零 ! —— 能量均分定律 晶格热容的量子理论 ? 一个频率为?j的振动模对热容的贡献 频率为?j的振动模由一系列量子能级为 组成 —— 子体系 子体系处于量子态 的概率 振动模的平均能量 一个振动模的平均能量 —— 与晶格振动频率和温度有关系 一个振动模对热容贡献 高温极限 —— 与杜隆－ 珀替定律相符 —— 忽略不计 低温极限 一个振动模对热容贡献 —— 与实验结果相符(趋势相符) —— 从物理上看，在低温下，声子被‘冻结’在基态，因而对热容的贡献趋于零。 ? 晶体中有3N个振动模，总的能量 晶体总的热容 可见，只要知道晶体的各简正振动的频率，就可直接计算出晶体的热容。 但是，对于具体的晶体，3N个简正频率是很复杂的，因而计算也复杂。 1. 爱因斯坦模型 N个原子构成的晶体，所有的原子以相同的频率?0振动 一个振动模式的平均能量 晶体热容 总能量 —— 爱因斯坦热容函数 爱因斯坦温度 —— 爱因斯坦热容 —— 选取合适的?E值，在较大温度变化的范围内，理论计算的结果和实验结果相当好地符合 —— 大多数固体 也有可能低于和高于这个范围的固体。 金刚石 理论计算和实验结果比较 在极低温范围内，爱因斯坦理论值下降比较陡，与实验不符合。 爱因斯坦理论值反映了随温度下降的趋势。 温度较高时 晶体热容 —— 与杜隆 — 珀替定律相符 温度非常低时 晶体热容 —— 按温度的指数形式降低 实验测得结果 —— 爱因斯坦模型认为各原子的振动是相互独立的，因而3N个频率是相同的。 —— 爱因斯坦模型忽略了各格波的频率差别。 2. 德拜模型 1912年德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波，将布喇菲晶格看作是各向同性的连续介质。 —— 对于一定的波矢量q，有1个纵波和2个独立的横波 —— 不同q的纵波和横波，构成了晶格的全部振动模 —— 不同的振动模，能量不同 色散关系 三维晶格，态密度 —— V: 晶体体积 —— 受边界条件限制波矢q分立取值，允许的取值在q空间形成了均匀分布的点子 体积元 态的数目 —— q是近连续变化的 振动数目 频率在 之间振动模式的数目 各向同性的介质 —— 频率也近似于连续取值 —— 振动频率分布函数，或者振动模的态密度函数 一个振动模的热容 晶体总的热容 —— 振动频率分布函数 和?m的计算 频率在 之间，纵波数目 频率在 之间，格波数目 频率在 之间，横波数目 波矢的数值在 之间的振动方式的数目 频率分布函数 频率在 间，格波数目 频率在 之间振动模式的数目 实际晶体由N个原子组成，自由度为3N个 格波总的数目 德拜认为： 当频率?大于某一频率 ?m时，短波振动不存在，在?m之上的振动可当作弹性波来处理。 晶体总的热容 令 气体常数R=NkB 德拜温度 晶体总的热容 德拜热容函数 在高温极限下 晶体总的热容 —— 与杜隆－珀替定律一致 德拜热容函数 * *