数理方程03=Separating Variables.pptVIP

数学物理方法（概念、建立，表述）顾 樵 (Qiao Gu)  International Institute of Biophysics, Germany gu-qiao@gmx.de 什么是数学物理方法？ 对实际问题（物理及一般问题），分析考察量的变化规律，建立相应的微分方程 写出考察量所满足的相 关条件 根据微分方程和相关条件，求出考察量的解 讨论解的适用条件 建立数学物理方程 1. 统计法：对所考察的问题进行统计学研究，分析考察量的变化规律，写出它所满足的微分方程。这种方法具有非常广泛的用途，包括生物学、生态学、经济学、社会学等。 建立数学物理方程 2.微元法：在系统中分出一个微元，分析它与附近部分的相互作用，写出作用规律的数学表达式（比如牛顿第二定律表达式），它就是系统的微分方程。 建立数学物理方程 3.规律法：直接利用物理学规律写出考察量所遵循的数学物理方程，比如利用电磁波的麦克斯韦方程，写出电位、电场强度、磁场强度等物理量的微分方程。 数学物理方法：完整表述 泛定方程：线性和非线性 数理方程包括常 微分方程和偏微 分方程等。由于 同一个方程可以 广泛描述多种物 理作用，故称为 “泛定方程”。如 果函数 u 和它的 各阶导数都是一 次幂，称为线性 微分方程。 数理方程：定解条件 　　初始条件，边界条件，还可以有衔接条件等， 统称“定解条件”。例如： 初始条件:　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　(初始位移) 　　　　(初始速度) （弦振动） 　　　　　　　　 (初始温度分布) (热传导) 数理方程：边界条件 　　 　　 　　 　分别称为第一类，第二类，第三类齐次边界条件 　 　　 　　 　分别称为第一类，第二类，第三类非齐次边界条件 　 　　 　　　　　　　　 　　　　 数理方程：定解问题 定解问题分为三类： 初值问题：只有初始条件，没有边界条件的 定解问题 边值问题：只有边界条件，没有初始条件的 定解问题 　 混合问题：既有初始条件，又有边界条件的 定解问题 　 线性算符 线性微分方程：叠加原理 叠加原理:对于一个线性微分方程: 叠加原理: 一个例子 对于线性偏微分方程 它的一个特解为 故由叠加原理，原方程有一般解 定解问题的求解 基本方法： 1. 分离变量法 2. 行波法 3. 积分变换法 傅里叶变换 拉普拉斯变换 分离变量法顾 樵 (Qiao Gu)  International Institute of Biophysics, Germany gu-qiao@gmx.de 求解定解问题: 分离变量法 基本思想:将二元的偏微分方程转化为空间和时间的常微分方程,比如 定解问题:弦振动 分离变量 下面求解边值问题： ：方程(9)的通解为 2. : 方程(9)的通解为 求解边值问题： 解方程: 定解问题的一般解 任意初始条件 这样初始条件可以表示为 弦振动定解问题: 结论 有界弦自由振动的 定解问题的解由级 数给出: 它满足齐次边界条 件和任意初始条件: 展开系数 被 积分确定: 分离变量法:求解定解问题的步骤 1.对于泛定方程 写出形式解: 2.分离变量得到空间函数的本征值问题: 3.解出 得到本征解: 4.利用叠加原理得到一般解: 讨论: 分离变量法的适用条件 1.泛定方程是 线性齐次的, 例如 2.边界条件是 齐次的,例如 3.初始条件可以 是任意函数 讨论:本征解的物理意义 讨论:本征解为驻波 单个本征态的例子：单模激光 “单模激光”是工作在单个本征态的典型的物 理系统，单模激光的产生满足“驻波条件”： 谐波与一般波形 每个本征解表示一个谐波, 第 n 个本征解表示 n 阶谐波: 谐波的叠加给出一般波形: 阻尼弦振动 长度为 L ，线密度为 ，且两端固定的弦在 某种介质中作微振动，设弦在介质中振动时 受到的阻力与振动的速度成正比。已知弦振 动的初始位移与初始速度分别为 和 ， 试求弦上任意点 x 在任意 时刻离开其平 衡位置的位移 。 阻尼弦振动 强迫振动方程 若