中学数学尺规作图.docVIP

初中数学尺规作图专题讲解 几种基本作图 1、画一条线段等于已知线段 如图1，MN为已知线段，用直尺和圆规准确地画一条线段AC与MN相等。　　 步骤： 1、画 AB， 2、然后用 量出线段 的长，再在 AB上截取AC＝MN， 那么，线段AC就是所要画的线段． 2、画一个角等于已知角 如图2所示，∠AOB为已知角，试用尺规作图 作∠A′O′B′等于∠AOB． 3、画已知线段的垂直平分线 定义： 于一条线段并且 这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线（或叫中垂线。） 如图所示，已知线段AB，画出它的垂直平分线. 4、画角平分线 利用直尺和圆规把一个角二等分. 已知：如图，∠AOB 求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC 5、作已知直线垂线 （1）过直线上一点作一条直线与已知直线垂直;（2）过直线上一点作一条直线与已知直线垂直 练习：1．画一个等腰△ABC，使底边长BC=a，底边上的高为h（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出已知，求作，不写作法和证明）. 已知： 求作： 2．尺规作图：如图，已知△ABC． 求作△A1B1C1，使A1B1＝AB，∠B1＝∠B，B1C1＝BC． （作图要求：写已知、求作，不写作法，不证明，保留作图痕迹） 已知： 求作： 3．如图，有一块三角形材料（△ABC），请你画出一个圆，使其与△ABC的各边都相切. 4．如图，有分别过A、B两个加油站的公路、相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且P到两条公路、的距离也相等。请用尺规作图作出点P（不写作法，保留作图痕迹）． 初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条： ⑴ 经过两已知点可以画一条直线； ⑵ 已知圆心和半径可以作一圆； ⑶ 两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点； 以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题. 历史上，最著名的尺规作图不能问题是： ⑴ 三等分角问题：三等分一个任意角； ⑵ 倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍； ⑶ 化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积. 这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题. 若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家nderwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书.还有另外两个著名问题：⑴ 正多边形作法 ·只使用直尺和圆规，作正五边形. ·只使用直尺和圆规，作正六边形. ·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的. ·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的. ·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决了两千年来悬而未决的难题. ⑵ 四等分圆周 只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战.尺规作图的相关延伸： 　用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图只用直尺及生锈圆规作正五边形 生锈圆规作图，已知两点、，找出一点使得.已知两点、，只用半径固定的圆规，求作使是线段的中点.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图. 1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为