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中考数学“运动型问题”浅析 中考数学“运动型问题”浅析 [内容摘要] 运动型问题是近年来中考的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变。 [关键词] 点线面运动型问题 不变应万变 数形结合 分类讨论 [正文] 运动型问题是近年来中考的一个热点问题，这类题型能较全面地考查学生的数学思想和综合应用能力，是历年各地中考的压轴首选题。 解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量x、y的变化情况并找出相关常量，其次按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。最后确定自变量的取值范围，画出相应的图象。 “点”运动型问题 “点”运动型问题就是在三角形、四边形、圆形等一些几何图形上，设计一个或两个动点，点的运动引起一些图形形状变化的问题，其变化过程中伴随着等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等。这类问题起点不高，但考查较全面，常常集几何、代数于一体，主要体现数形结合或分类讨论，有较强的综合性。 1、例题剖析： 在正方形ABCD中，AB=1，弧AC是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一段。点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作弧AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点。 （1）当时，求证G为线段EF的中点； （2）设AE=x，FC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域； （3）将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，如图11。当时，讨论与是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。 本题综合运用了正方形、等腰三角形、圆的切线、全等三角形的性质和勾股定理、切线长定理以及相似三角形的判定等，考查了数形结合思想、图形运动思想、方程思想、字母表示数以及分类思想。 解：（1）证明∵∠DEF=450 得∠DFE=900-∠DEF=450 ，∴∠DFE=∠DEF，∴ DE=DF，∵AD=DC，∴AE=FC，因为AB是圆B的半径，AD⊥AB，所以AD切圆B于点A；同理，CD切圆B于点C，又因为EF切圆B于点G，所以AE=EG，FC=FG。因此EG=FG，即G为线段EF的中点. （2）∵AE=EG=x，FC=FG=y, ∴ED=1-x,FD=1-y.在Rt△DEF中，由ED2+FD2=EF2 ，得（1-x）2+(1-y)2=(x+y)2 . ∴。 (3)当时，由（2）得EF=EG+FG=AE+FC=，得，即或.当时，∽.证明：设直线EF交线段DD1于点H，又；EF⊥DD1且DH=D1H. ∵，，得AE=ED，∴EH∥AD1.∴∠D1AD=∠FED=∠FED1 , ∠AD1D=∠EHD=900.又∵∠ED1F=∠EDF=900，∴∠ED1F=∠AD1D. ∴∽.②当时，与不相似. 2、拓展练习： 直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x正半轴上一动点(OC＞1)，连结BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E. （1）△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论; （2）随着点C位置的变化，点E的位置是否 会发生变化? 若没有变化，求出点E的坐标； 若有变化，请说明理由. 二、“线”运动型问题 从运动变化角度来看，“线”运动型问题 的设计有一定的难度，易出现的错误在于不能准确把握运动过程中直线运动的可能位置而导致结果可能的变化。解题时需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握直线运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量、不变关系或特殊关系。虽然试题大多属于静态的知识和方法，但是这些试题中常渗透着运动与变化的思想方法，需要用运动和变化的观点去研究和解决。 例题剖析： 已知：如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点与原点重合，AB=2，AD=1，定点Q的坐标为（0，2），动点P在x轴上移动，若过点P、Q两点的直线与矩形ABCD的边有公共点，则动点P的横坐标a的取值范围是多少？ 解析：分别连接点Q与D、C两点，求直线QD、QC与x轴的交点坐标。即可求得－2≤a≤2。 2、 拓展练习： 图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中△ABC内接于⊙G，AB是⊙G的直径，AB=6，AC=3．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图2），然后点A在射线OX上由点O开始向右滑动，点B在射线OY上也随之向点O滑动（如图3），当点B滑动至与点O重合时运动结束． ⑴ 试说明在运动过程中，原点O始终在⊙G上； ⑵