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第九章 分式 专项训练(3) 【例题精选】： 例1： 如甲乙二人加工同一种零件，甲加工90个零件与乙加工60个零件所用时间相等，已知甲每小时比乙多加工6个零件。问甲乙二人每小时加工多少个零件？ 分析：因为甲乙二人加工零件的时间相等很容易得到方程： 分式方程：像这种分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 前面我们学习过的方程都是整式方程，而一元一次方程是最简单的整式方程。 怎样解分式方程呢？如果能把分式方程中的分母化去，将分式方程转化成整式方程，就可以利用学习过的整式方程的方法去解了。 如： 最简公分母： 方程两边都乘以得： 再解这个整式方程得 是不是原方程的解呢？代入原方程检验： 左边=5，右边=5 ∵左边＝右边 ∴是原方程的根。 再看方程 解这个方程 两边乘以最简公分母： 得整式方程： 解得 把代入原方程去检验，会发现，使分式的分母为零，没有意义。 ∴1不是原方程的根，实际原方程无解。 为什么会出现这种现象呢？ 因为方程的同解原理2（或等式性质2）是在方程两边都乘以（或除以）同一个非零的数所得方程与方程同解。 可是去分母时，用最简公分母去乘的时候显然是一个含有未知数的代数式去乘，所以可能产生增根，即最简公分母为零时，此时的根是增根。 所以验根不是可有可无，而是解分式方程的必要步骤。 根据以前我们对解方程的认识，可以归纳解分式方程的过程为： ①在方程两边都乘以最简公分母。约去分母，化成整式方程。 注意：方程左右两边每一项都要乘。 ②解这个整式方程。 ③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否是零，使最简公分母为零的根，是原方程的增根，必须舍去。 例2：解下列方程： ① ② ③ ④（都是已知数） 解：①先确定最简公分母： 用最简公分母在方程两边去乘，得 解得 检验，把代入 ∴是原方程的根。（注意：同学也可以代回原题去检验，试一试。） ② 分析：观察一下，是互为相反式子，只要改变一下符号就可以变成完全相同的式子。 ∴最简公分母是，但方程右边的这一项就应当是 ∴去分母得 [注意－3，不要忘了乘以] 解得 检验，把代入 ∴是增根，原方程无解。 ③ 分析：最简公分母为 去分母得： 检验：把代入 ∴是原方程的增根，原方程无解。 ④（都是已知数） 分析：像这样含有字母系数，在整式方程中已经见过，先把它当作已知数字做，然后按分式方程的步骤加以解决。 解：最简公分母： 去分母得： 把代入最简公分母0但要考虑到必须在的前提下，上面结果方能成立。 例3：解下列方程或方程组： ① ② ③ 解①： 分析：如果用去分母方法可以解，但必定是很复杂的，因为最简公分母是：当约去各自分母后，必然仍是一个三次多项式，这样的三次多项式、不仅做起来麻烦，而且也容易出错，可以考虑，用学习过的分式加减，先把方程左右两边分别整理。 解： 再去分母，就比较容易得 检验：把代入 ∴是原方程的解。 解②： 分析：根据上面例的解法，我们可以考虑如何使这样的方程，做起来既简便又准确呢，可将化成的形式，这样。就较容易做了。 解： 去分母得 检验：把代入 ∴是原方程的根。 解③： 分析：这是由含有的未知数组成的分式方程组，可以考虑用解分式方程的方法步骤去解，去分母可变成整式方程组，也可以考虑用换元法去解。 解法一：将②代入①得 把代入②得 检验根： 解法二：考虑用换元法去解 设 ∴原方程组变型为 解得 把 经检验：是原方程组的解。 分式方程的应用： 以前我们学习过用整式方程解应用题。在一般情况下，列分式方程解应用题和解一元一次方程解应用题的方法和步骤大体一致。 方法和步骤如下： ①审清题意； ②设未知数； ③根据题意找相等关系：列出（分式）方程； ④解方程，并验根； ⑤写出答案。 常见几种量之间的关系有： 速度×时间 = 距离 例4：用方程解下列应用题： 1、农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达。已知汽车的速度是自行车的3倍，求自行车、汽车的速度各是多少？ 分析：设自行车的速度是每小时x千米。 那么汽车的速度是每小时3x千米。 所以根据题意可以得到自行车和汽车走15千米各自时间的代数式。 即自行车所用的时间是，而汽车所用的时间是，又由于自行车早出发了40分钟（小时）。 ∴很容易找出“相等的关系”。 汽车所用的时间=自行车所用时间－小时 或 汽车所用的时间＋小时=