高屋建瓴 势如破竹函数凹凸性在解题中的应用.docVIP

高屋建瓴 势如破竹——函数凹凸性在解题中的应用 高屋建瓴势如破竹 函数凹凸性在解题中的应用 本刊编辑部(530023)邓国勋 某市模拟考试中,将2006年四川省高考题 改编得如下一道题目: 已知函数厂()一+2x+alnx.(1)若 厂()在区间(0,1]上恒为单调函数,求实数Ct 的取值范围;(2)当￡≥1时,不等式厂(2￡一1)≥ 2f(t)一3恒成立,求实数n的范围. 此题主要考查利用导数知识,研究函数的 单调性,处理不等式恒成立问题,综合性强,思 想方法深刻,能力要求较高.其中第(1)问属于 常见问题,现就第(2)问的解法展开讨论. 解法1:..f()一+2x+alnx,由 厂(2￡一1)≥2f(t)一3得 (2￡一1)+2(2t一1)+aln(2￡一1)≥2(t+ 2f+alnt)一3. 化简为2(t一1)≥nln2t--1?① ..当￡gt;1时,有t≥2￡一1. .2 ? ?Ingt;0, 故n≤.② In2...t....-- ......— 1— 构造函数m()一ln(1+)一(gt;一1), mt()一雨1一—f矗. 则m()在一0取得极大值,同时也是最 大值,故m()≤re(O). 从而In(1+)≤在gt;一1时恒成立, 故 In一InEl+]≤lt; (￡一1).③ 当￡gt;1时恒成立,而t一1时,③式取得 一, . ? ? In≤(￡一1)?④ 当￡≥1时恒成立,因此由②③④可知实数 的范围为n≤2. 解法2:构造函数g(t)一f(2t一1)一 E2f(t)一33(￡≥1),注意到g(1)一0,故所求问 题转化为g(￡)≥g(1)对任意的t∈E1,+oo)时 恒成立. . g(t)一2[f(2t一1)一f(t)]一 2(t一1)[2一](￡≥1). 当n≤2时,由于t(2t一1)≥1.故g(￡)≥ 0. 从而当t∈E1,+C×.)时,g(￡)为增函数. . .g(￡)≥g(1)对一切￡∈[1,+C×.)恒成立 当ngt;2时,g(t)一￡麓￡ 8(t--1)(￡一)(￡_.i--J 4 i~) t(2t—1) ? . ?lt;1lt;丁i+vq~2 ,当￡∈ (1,)时,gl㈤lt;0. . . .g(￡)为减函数...g(￡)lt;g(1)一0与题 设不符,舍去.综上n∈(一c×.,2]. 解法1是常规解法:分离参数求范围,其难 点在于如何求式子的最小值,其中构 In2 t--1 造函数m()一ln(1+)一(gt;一1),并利用 其单调性进行放缩,技巧性很强,虽然构造函 数是解决问题的通法,但是为什么要构造这个 函数m()?它与题设有何联系?直接分析很 困难,这就是这种解法的难点所在,因此学生 很难想得到. 解法2也是通过构造函数g(￡)一厂(2t～ 1)一E2f(t)一3](￡≥1)且g(1)一0,将问题转 化为g(￡)≥g(1)对任意t∈E1,+C×.)恒成立, 它比解法1思路自然,过程清晰,解法2虽易接 受,也具操作性,由于g(f)是关于t的分式函 数,但讨论g(￡)的正负技巧要求较高,因此难 度也较大,也不好把握. 所以,无论是解法1,还是解法2,对运算变 形,分类讨论能力要求都较高,大部分学生难 以把握.如果我们对题目做进一步深入分析, 魄≤ 就会发现问题凸现着高等数学的身影——函 数的凹凸性.函数凹凸性的定义,性质,如果教 师在上课的时候向学生介绍,对多数学生来 说,并不难掌握,而应用凹凸性的性质来解题, 对于提高学生的解题能力大有裨益! 因为f(1)一3,将原不等式变形为 ≥,(f)一,(),则这 个式子正好就是函数为下凸函数的定义.因此 将问题转化为,(z)在[1,+co)为下凸函数时, 原不等式成立,此时只要厂(z)一2一兰≥o在 [1,+co)恒成立即可.因此而得到解法3. 解法3:由,(2f一1)≥2,(f)一3,因为,(1) 一3,所以上式变形为二±≥,(f), 所以,(f)在[1,+co)上为下凸函数时,不等式 成立,所以.(z)一2一≥o在[1,+o.)上恒 成立,故n≤2为所求. 解题教学中,对问题的本质理解得越深 刻,越透彻,其解法自然更简单.与解法1,解法 2相比,解法3更简洁明了,无懈可击,它是在 更高的视野,更高的观点下进行解题,可谓高 屋建瓴,势如破竹. 其实函数的凹凸性在高中数学中有着广 泛的应用. 定义函数,(z)如果对其定义域中任意 的两点z,zz都有如下不等式成立,即 ,(丑丢丝)≤专[,(z)+,(z)],① 则称,(z)是下凸函数(如图1所示),等号 当X1一X2时成立. 如果总有不等式 ,(丑毒丝)≥专[,(z)+,(z)],② 则称,(z)是上凸函数(如图2所示),等号 当X1一z2时成立. 图1 —\ / P 肼 图2 酞;第