导数的应用典型错误解析汇总.docVIP

导数的应用典型错误解析 导数作为一种工具，在解决数学问题时极为方便，尤其是利用导数求函数的单调性、极值、最值、和切线的方程，但是笔者在教学过程中，发现导数的应用还存在许多误区。 一、导数的定义理解不清 例1：已知函数f(x)=logax+1,求. 错解：因为f(x)=logax+1,∴fl(x)=, ∴= fl(1)= log 剖析：错误的主要原因是由于对导数的定义理解不清，导数fl(x0)=,函数在某一点x0处的导数，就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限，分子分母中的自变量的增量必须保持对应一致，它是非零的变量，它可以是-2，等。 ==-2 =-2fl(1)=-2 log 二、fl(x0)为极值的充要条件理解不清 例2：函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a、b的值。 错解：fl(x)=3x2+2ax+b,由题意知fl(1)=0,且f(1)=10,即2a+b+3=0,且a2+a+b+1=10,解之得a=4,b=-11 ,或a=-3 b=3 剖析：错误的主要原因是把fl(x0)为极值的必要条件当作了充要条件，fl(x0)为极值的充要条件是fl(x0)=0且x0附近两侧的符号相反.，所以后面应该加上：当a=4,b=-11时fl(x)=3x2+8x-11=（3x+11）(x-1),在x=1附近两侧的符号相反， a=4,b=-11 当a=-3 b=3时fl(x)=3（x-1）2, 在x=1附近两侧的符号相同，所以a=-3 b=3舍去。 （a=4,b=-11 时，f(x)=x3+4x2-11x+16的图象见下面左图，a=-3 b=3时（f(x)=x3-3x2+3x+|9的图象见下面右图。） 三、函数的单调区间不完善 例3：求函数f(x)=(x0)的单调增区间。 错解：由题意得fl(x)=〉0，，，又因为函数的定义域是（0，+），所以函数的单调递增区间是（0，1）和（1，+）。 剖析：错解错在对函数在x=1处是否连续没有研究，显然函数在x=1处是连续的，所以函数的单调递增区间是（0，+）.（函数的图象见下图）对于fl(x) 0（或fl(x) 0）的解集中的断开点的连续性，我们要进行研究，不能草率下结论。 四、函数单调的充要条件理解不清 例4：已知函数f(x)=在(-2,+ )内单调递减，求实数a的取值范围。 错解：fl(x)=,由函数f(x) 在(-2,+ )内单调递减知fl(x)0在(-2,+ )内恒成立，即在(-2,+ )内恒成立，因此a. 剖析：错误的主要原因是由于对于函数f(x)在D上单调递增（或递减）的充要条件是f1(x)(或f1(x))且f1(x)在D任一子区间上不恒为零没有理解。而当a=时fl(x)=0在(-2,+ )恒成立，所以不符合题意，所以舍去。 五、求函数的最值没有考虑函数的不可导点 例5：求f(x)=在[-1，3]上的最大值和最小值。 错解：由题意得fl(x)= ，令fl(x)=0得x=1. 当x=-1和3时，函数的最大值是，当x=1时，函数的最小值是1. 剖析：错误的主要原因是解题过程中忽略了对函数的不可导点的考察，因为函数的最值可以在导数为零的点或不可导点或区间的端点处取得.所以后面应该加上：在定义域内不可导的点为：x1=0,x2=2 ，f(0)=0 ,f(2)=0 当x=-1和3时，函数的最大值是，当x=0或2时，函数的最小值是0. 函数f(x)的图象如图 六、求函数的极值没有考虑函数的不可导点 例6：求f(x)=在[-1，3]上的极值。 错解：由题意得fl(x)= ，令fl(x)=0得x=1. 当x=1时，fl(x) 在x=1附近两侧的符号相反，左正右负， x=1.是函数的极大值点 剖析：错误的主要原因是解题过程中忽略了对函数的不可导点的考察，因为函数的极值可以在定义域内导数为零的点或不可导点取得.所以后面还应该加上：在定义域内不可导的点为：x1=0,x2=2 ，经计算，fl(x)在x1=0附近两侧的符号相反，左负右正，fl(x)在x2=2附近两侧的符号相反，左负右正， x1=0和x2=2是函数的两个极小值点。 函数的极大值为f(1)=1,极小值为f(0)=f(2)=0。（函数的图象见上图）