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定积分分类典型题 一、计算极限: 1.用定积分计算极限 :269页3(1)(2)(3) (1) . (2), (3) 练习(1) ) . (2); (3); 2.用中值性质求极限: 例1. 269页4(1) 法1由定积分的中值性质,当时 所以. 法2.由洛必达法则: . 3.洛必达法则求极限:涉及积分上限函数的导数:243-9、12、13，269-4页 练习(1). (2) (3). 4. 由定积分的性质求极限: 例1.(1); (2). 解(1), , 于是由夹逼准则，有 . (2), 于是由夹逼准则，有 . 例2.设在上连续,且非负,,求. 解: 由于在上连续,则在上有最小值和最大值.又,则,而非负,则有: 所以 又,故. 二、不等式的证明: 1.利用定积分的性质: 例1. 270页8(1)(2) 8.设在上均连续,证明: (1)(柯西—施瓦茨不等式) (2)(闵可夫斯基不等式) 证(1)因为,所以 即: 证毕. (2) 由(1) 所以: 证毕. 270页9.设在区间上连续，且，证明 证：法Ⅰ，由柯西-斯瓦茨不等式 法Ⅱ（用单调性证） 设 则 所以单调递增，于是，即 证毕。 法Ⅲ 由，按照柯西-斯瓦茨不等式的证明方法证明。 练习1.若在上可积,则有 (提示：法一 ；法二 由柯西-斯瓦茨不等式证明). 2.设在上有界,且有, 证明:(1)存在; (2). 证：（1）只需证明连续。对， 所以连续，故存在 （2） 证毕 2.用单调性证明不等式: 例2:设在上连续且单调递减,证明:有: . 证：设 所以单调递减，，即 3.用估值性质证明不等式: 例3.证明不等式:. 证：记，则 所以 由定积分的估值性质，有 即 证毕 三、等式的证明 利用换元、分部积分、介值定理等.253页2.3.4.5.6.均用换元法证明.注意除了不定积分的换元函数,定积分常用掉头代换:即令。270页14(积分第一中值定理)的证明利用定积分的性质. 例1.设函数在上非负连续,求证:在内存在一点使直线将曲线与所围的曲边梯形面积二等分. 证：设，显然连续，且， ，由介值定理，，使。即：直线将曲线与所围的曲边梯形面积二等分. 练习:1.设在上可导,且,试证:对图中所示的两个面积来说,存在唯一一点,使. 例2.270页11.设为连续函数,证明:. 证明:法1.由分部积分法 .证毕. 法2.设, 则 ,而,即: . 四、定积分的计算: 1.利用N—L公式计算:270页10(1)(5) (1) （5） ; 2.定积分计算中应注意的几个问题: 利用函数的奇偶性简化计算: 例1. 例2. . 例3. . 0 例4. 解:令 . 例5.. 练习:1. 解:令:, . 2. 令. (2)利用变量代换简化计算 (a)若在上连续，则; (b) 若在上连续,则; (c) (d) 掉头代换:; (e) 是以为周期的连续函数，证明：的值与无关。 (f)一般的换元 0 0 例1. 270页10(3); 解:令, 原式. 例2. 例3.. 练习:1. 0 0 例4:270页10(2) 解:令且 所以, .((1)调头代换(2)由方程求结果). 例5:. 解:令 即: ,所以. (注:(1)含的函数可以考虑令或,因为(2)由方程求结果) 例6已知,求. 解:令 (3)利用函数的周期性简化计算: 设是周期为的连续函数,则 (为正整数); . 例1.. (4)其他 例1.计算, . 例2.已给函数处处连续,且,, 设,求证:, 并计算. 证明: . , 例3.设在上具有二阶连续导数,且, 计算. 解: . 例4.设连续,已知,则应该等于( ). . 解: , , ,选(C). 例5.已知:函数在上连续且满足方程, 求. 解: 设则, 练习:设,求. 3.关于分段函数的积分 (1)定积分 命题:设在上可积,而只在有限个点处的值不同,则 . 由定积分的几何意义:可积充分条件:连续;有界且有有限个间断点. 由此可推广N—L公式的使用范围. 例1设求. 解:与只在点的值不同.所以: . 例2.设求. 解:. . 例3. . 练习:270页10(4) 例4.设 解: 显然,是连续可导的. (2)不定积分: 例5.设 解:由例4得结果有: 练习:设求. 解: 例6 . 练习(1) (2) 五、关于用微分中值定理证明等式时辅助函数的构造: 例1.设在上连续,在内可导,证明:在内至少存在一点,使 . 分析: 证:设,则在上连续