8-4 多元函数的偏导数.pptVIP

四、高阶偏导数 * §8.4 偏导数 　　设 z = f (x, y) 在 (x0, y0) 的某邻域 U (x0, y0)内有定义. 固定 y = y0, 在 x0 给 x 以增量 ?x . 相应函数增量记作 称为 z 在点 (x0, y0)处对于 x 的偏改变量或偏增量. 一、多元函数的增量概念 　　设 z = f (x, y) 在 (x0, y0) 的某邻域 U (x0, y0)内有定义. 固定 x = x0, 在 y0 给 y 以增量 ?y . 相应函数增量记作 称为 z 在点 (x0, y0)处对于 y 的偏改变量或偏增量. 对于x0, y0 取得增量?x, ?y . 相应函数增量记作 称为 z 在点 (x0, y0) 的全改变量或全增量. 则称这个极限值为 z = f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 x 的偏导数. 定义8.5 设 z = f (x, y) 在 (x0, y0) 的某邻域内有定义. 如果?x →0时，极限 二、偏导数的定义 则称它为z = f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 y 的偏导数. 　　若 z = f (x, y) 在平面区域 D 内每一点 (x, y) 处时x的偏导数都存在, 则 称为函数 f (x, y) 对 x （或y）的偏导函数， 简称偏导数. 　　1.由偏导数定义知, 所谓 f (x, y) 对x 的偏导数, 就是将 y 看作常数, 将 f (x, y) 看作一元函数来定义的. 注 　　因此,在实际计算时, 求 f x (x, y)时, 只须将 y 看作常数,用一元函数求导公式求即可. 　　求 f y (x, y)时, 只须将 x 看作常数,用一元函数求导公式求即可. 　2.f x (x0, y0) 就是 f x (x, y) 在点(x0, y0)的值. 计算 f x (x0, y0) 可用3种方法. (1) 用定义算. (2) 先算 f x (x, y), 再算 f x (x0, y0) 　　(3)先算 f (x, y0), 再算 f ‘x (x, y0)， 再算 f x (x0, y0) 解 例4. 解: 证 原结论成立． 但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续. 一元函数中在某点可导 连续， 多元函数中在某点偏导数存在 连续， 同理 三、偏导与连续的关系 纯偏导 混合偏导 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 解 解 问题： 混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？ 思考题 思考题解答 不能. 例如,