椭圆部分复习.docVIP

1.设椭圆过点，且着焦点为 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上 解 (1)由题意： ，解得，所求椭圆方程为 (2)方法一 设点Q、A、B的坐标分别为。 由题设知均不为零，记,则且 又A，P，B，Q四点共线，从而 于是 ， ， 从而 ，（1） ，（2） 又点A、B在椭圆C上，即 （1）+（2）×2并结合（3），（4）得 即点总在定直线上 方法二 设点，由题设，均不为零。 且 又 四点共线，可设,于是 （1） （2） 由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程 整理得 （3） (4) (4)－(3) 　　　得 即点总在定直线上 2. 已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1． （Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程； （Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值． 解：（Ⅰ）由题意得直线的方程为． 因为四边形为菱形，所以． 于是可设直线的方程为． 由得． 因为在椭圆上，所以，解得． 设两点坐标分别为， 则，，，． 所以．所以的中点坐标为． 由四边形为菱形可知，点在直线上， 所以，解得．所以直线的方程为，即． （Ⅱ）因为四边形为菱形，且， 所以．所以菱形的面积． 由（Ⅰ）可得， 所以． 所以当时，菱形的面积取得最大值 3. 如图、椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点. （Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； （Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有,求a的取值范围. 解：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形， 所以, 因此，椭圆方程为 (Ⅱ) 设 (ⅰ)当直线 AB与x轴重合时， (ⅱ)当直线AB不与x轴重合时， 设直线AB的方程为： 整理得 所以 因为恒有，所以AOB恒为钝角. 即恒成立. 又，所以对恒成立， 即对恒成立,当时，最小值为0， 所以， , ，即, 解得或(舍去)，即, 综合（i）(ii)，a的取值范围为. 4. 设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点． （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）求四边形面积的最大值． 如图，设，其中， 且满足方程， 故．① 由知，得； 由在上知，得． 所以，化简得， 解得或． 6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为， ． 9分 又，所以四边形的面积为 ， 当，即当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分 解法二：由题设，，．设，，由①得，， 故四边形的面积为 9分 ， 当时，上式取等号．所以的最大值为． 12分 5. 在直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为，直线与C交于A，B两点． （Ⅰ）写出C的方程； （Ⅱ）若，求k的值； （Ⅲ）若点A在第一象限，证明：当k0时，恒有||||． 解析：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴， 故曲线C的方程为． 3分 （Ⅱ）设，其坐标满足 消去y并整理得， 故． 5分 若，即． 而， 于是， 化简得，所以． 8分 （Ⅲ） ． 因为A在第一象限，故．由知，从而．又， 故， 即在题设条件下，恒有． 6.(1) (2) 1 7. (1) P (2) 8. (2) (2) D F B y x A O E