第三章_平面问题的解法—例题.pptVIP

* § 3.4例题 矩形梁的纯弯曲（逆解法） 设有矩形截面的长梁(长度l远大于深度h), 它的宽度远小于长度和深度(近似于平面应力情况), 或远大于长度和深度(近似于平面应变情况), 在两端受相反的力偶而弯曲, 体力不计. 设两端的力偶为M. 取坐标如上图所示. 从上节可知, 满足相容方程的应力函数: 能解决纯弯问题, 而对应的应力分量 是 (a) 以下考虑边界条件. 在上边界和下边界, 都没有面力, 故有: 这能满足, 因为所有的点都有σy = 0,τxy = 0 . 其次, 在左右两端, 没有垂直力, 故应要求: 因所有的点τxy = 0 ，故这个条件也能满足。 在左右两端, 表面力的合力为零而合力偶为 M。这要求: 将 σx 代入, 得 第一式总能满足, 而后一式要求: 所以有 (b) 因为梁截面的惯性矩 , 故上式可写为: (3.1) 这与材料力学的结果相同。 § 位移分量的求出(Determination of Displacements) 假定是平面应力的情况. 将(3.1)式代入物理方程，得: 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(a)　　　　　　　　　　　 将这个表达式代入几何方程, (b) 这里 f1 and f2 是任意函数. 将Eqs.(c) 代入 Eqs.(b) 的第三式得： 前两式积分得： ( c) 左边只是 y 的函数, 而右边只是 x 的函数. 因此只可能两边都等于同一个常数ω.于是有 积分后得 这里 u0 and v0 是积分常数, 代入( c)式, 得位移分量 (d) 常量 ω,u0 and v0 表示刚体位移 ,要由边界条件确定。 从方程(d)的第一式可知, 铅直线段的转角为: 在同一横截面上, x 为常数 , 因而β也是 常数。 这就说明, 同一横截面上各铅直线段的转角相同, 即横截面保持为平面。 由 Eqs.(d)的第二式可见, 梁的各纵向纤维曲率是 (3.2) 这是材料力学中求梁的挠度的基本公式。 如果梁是简支梁, 如Fig.3.4a 所示, 则 conditions of constraint 是 于是由Eqs.(d)得出下列方程: 即 Fig.3.4 将这些值代入Eqs.(d),得 (3.3) 梁的挠度方程是: . 和 材料力学的结果相同. 对于悬臂梁(Fig.3.4b), 它的边界约束条件是 解这些边界条件方程, 得 或 代入方程(d), 得