高三总复习7——由函数图形的对称性得到函数的周期性.docVIP

高三总复习——由函数图象的对称性得到函数的周期性 　　请同学们看一道高考题：f(x)为定义在R上的偶函数，图象关于直线x=1对称，且对于任意x1, x2[0,]都有：f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),f(1)=a0。（1）略；（2）证明f(x)为周期函数；（3）略。 　　由条件“f(x)是偶函数”，知函数f(x)的图象关于直线x=0对称。因此，本题告诉我们这样一个基本事实：若函数f(x)图象关于直线x=0和x=1对称，则f(x)是周期函数。 　　证明上述结论的关键是借助于图象观察到f(x)的一个周期是2，从而只要证明f(x+2)=f(x)即可。 　　用同样的研究方法，不难将上述问题一般化。 　　命题1　 若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=a和x=b(a≠b)对称，则函数f(x)是周期函数，且2(a-b)是它的一个周期。 　　证： f(x)的图象关于直线x=a和x=b(a≠b)对称， 　　 f(x)=f(2a-x), f(x)=f(2b-x), 　　 f[2(a-b)+x]=f[2a-(2b-x)]=f(2b-x)=f(x), 　　 f(x)是周期函数，且2(a-b)是它的一个周期。 　　特别地，定义在R上的偶函数f(x)，若图象关于直线x=a(a≠0)对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期。 　　进一步探索：将命题1中一条直线换成一点，f(x)是否是周期函数？ 　　命题2 　若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=a和点(b,y0)(a≠b)对称，则函数f(x)是周期函数，且4(a-b)是它的一个周期。 　　证： 函数f(x)的图象关于直线x=a对称， f(x)=f(2a-x). 　　又 f(x)的图象关于点(b,y0)(a≠b)对称， 　　 f(2b-x)=2y0-f(x), 　　 f[4(a-b)+x]=f[2a-(4b-2a-x)]=f(4b-2a-x)=f[2b-(2a-2b+x)]=2y0-f(2a-2b+x) 　　　　　　　 　　=2y0-f[2a-(2b-x)]=2y0-f(2b-x)=2y0-(2y0-f(x))=f(x), 　　 f(x)是周期函数，且4(a-b)是它的一个周期。 　　再次探索：将命题1中两条直线换成两点，f(x)是否是周期函数？显然，对一般的两点，结论不成立，但对纵坐标相同的点，结论成立。 　　命题3　 若定义在R上的函数f(x)的图象关于点(a,y0)和(b,y0)(a≠b)对称，则函数f(x)是周期函数，且2(a-b)是它的一个周期。 　　证： f(x)是图象关于点(a,y0)和(b,y0)(a≠b)对称， 　　 f(2a-x)=2y0-f(x), f(2b-x)=2y0-f(x), 　　 f[2(a-b)+x]=f[2a-(2b-x)]=2y0-f(2b-x)=2y0-(2y0-f(x))=f(x), 　　 f(x)是周期函数，且2(a-b)是它的一个周期。 　　例1．已知f(x)是R上的奇函数，且f(+x)=f(-x),则f(1)+f(2)+f(3)=_________。　　解：f(+x)=f(-x)，f(x)的图象关于直线x=对称。 　　又 f(x)是奇函数， 由命题2知，f(x)是周期函数，且2是它的一个周期， 　　 f(3)=f(-1)=-f(1)，f(2)=f(0)=0， f(1)+f(2)+f(3)=0。 　　例2．定义在R上的偶函数f(x)，其图象关于直线x=2对称，当x(-2,2)时，f(x)=x2+1，则x(-6,-2)时，f(x)=_______。　　解： 偶函数f(x)其图象关于直线x=2对称， 由命题1知f(x)是周期函数，且4是它的一个周期。 　　当x(-6,-2)时，x+4(-2,2), 　　 f(x)=f(x+4)=(x+4)2+1=x2+8x+17。　　注：上面的结论可以帮助你在做解答题时提供思路，也可以在解选择题、填空题中使用，达到快速解题的目的，但在解答题中不宜直接应用这些结论，关键是掌握上面的证明方法。