2010湖北高考数学模拟试卷汇编——压轴题.doc

1、（本小题满分13分）设函数，其中为正整数. （Ⅰ）判断函数的单调性，并就的情形证明你的结论； （Ⅱ）证明：； （Ⅲ）对于任意给定的正整数，求函数的最大值和最小值. .【解析】：（1）在上均为单调递增的函数. 对于函数，设 ，则， ，函数在上单调递增. （2） 原式左边 . 又原式右边.. （3）当时，函数在上单调递增，的最大值为，最小值为. 当时，，函数的最大、最小值均为1.当时，函数在上为单调递增.的最大值为，最小值为.当时，函数在上单调递减，的最大值为，最小值为. 下面讨论正整数的情形： 当为奇数时，对任意且，以及 ，，从而 .在上为单调递增，则的最大值为，最小值为. 当为偶数时，一方面有 .另一方面，由于对任意正整数，有， .函数的最大值为，最小值为. 综上所述，当为奇数时，函数的最大值为，最小值为. 当为偶数时，函数的最大值为，最小值为. 数列定义如下：，,． （1）求的值； （2）求的通项； （3）若数列定义为：， ①证明：； ②证明：． 2、【解析】：1）,(其他合理答案也给分). （2）设，则 . 一般地，若，则由递推关系可知：∴的通项公式 为 （3）① ∵，于是, ∴. ② 因为当时，，所以. 3．（10年湖北省八校2010届高三第二次联考（数学理）(本题满分14分) 已知函数 （1）若求的单调区间及的最小值； （2）若，求的单调区间； （3）试比较）的大小，，并证明你的结论。 3．（1） （2分） 故a=1时，的增区间为，减区间为（0，1），（4分） （2）若 则在区间上是递增的； 当 在区间上是递减的． （6分） 若 则在区间上是递增的，在区间上是递减的； 当 在区间（0，a）上是递减的，而在处连续； 则在区间上是递增的，在区间（0，1）上是递减的 （8分） 综上：当的递增区间是，递减区间是（0，a）； 当时，的递增区间是，递减区间是（0，1） （9分）（3）由（1）可知，当，时，有，即 （14分） ，在处取得极大值，且存在斜率为的切线。 （1）求的取值范围； （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； （3）是否存在的取值使得对于任意，都有。 4．解：（1）， ，， 在处有极大值，则 又有实根，或，（4分） （2）的单调增区间为 则 [m、n] （8分） （3）（方法一）由于上是减函数，在上是增函数. 在上是减函数,而,且. 在上的最小值就是在R上的极小值. , 得,在上单调递增. ，不存在. 依上，不存在的取值，使恒成立.（14分） （方法二）等价于 即， 当时，不等式恒成立； 当时，上式等价于 即， 在上递增 所以即 而故不存在。（14分） 5．（湖北省部分重点中学2010届高三第二次联考理）（本小题满分14分） 已知数列满足：，且存在大于1的整数k使。 （1）用k表示m（化成最简形式）； （2）若m是正整数，求k与m的值； （3）当k大于7时，试比较的大小。 5．【解析】：（1） ① …………2分 ② 由①—②得…………4分 …………6分 （2）由 又故此有 故k=7，m=49 …………9分 （3） …………14分 6．（本小题满分1分）设数列的前项和为，且，其中为常数，且、0（）证明：数列是等比数列； （）设数列的公比，数列满足，求数列的通项公式； （）设，数列的前项和为，求证：当时，的前n项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足：，且， 求证：； （3）求证：。 解：（1）当时，， ，可得： . 可得， （2）当时，，不等式成立. 假设当时，不等式成立，即那么，当时， 所以当时，不等式也成立。 根据（），（）可知，当时， （3）设 在上单调递减， ∵当时， ， 8．湖北黄冈中学2001届高三10月月考试题（数学文 理） (本题满分14分) 已知数列中，，且． (Ⅰ) 求数列的通项公式； (Ⅱ) 令，数列的前项和为，试比较与的大小； (Ⅲ) 令，数列的前项和为．求证：对任意， 都有 ． 8【解析】：(Ⅰ)由题知， ， 由累加法，当时， 代入，得时， 又，故． ．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （II）时，． 方法1：当时，；当时，； 当时，． 猜想当时，． ．．．．．．．．．．．．．．．．6分 下面用数学归纳法证明： ①