Ch5_2Hrmt插值09用.ppt

5.2 Hermite插值 —— 附加导数要求 Hermite 插值 不仅要求函数值重合，而且要求 若干阶导数也重合. 即, 要求插值函数 p(x) 满足 p(xi) ? f (xi), p ?(xi) ? f ?(xi),…, p(mi) (xi) ? f (mi) (xi). 注解： ? n ?1 个条件可以确定 n 次多项式。 ?要求在 1 个节点 x0 处直到 m 阶导数都重合的插值多项式为 Taylor多项式. ? 一般只考虑 f 与 f ? 的值。 1. Hermite 插值问题 给定函数 f (x) 与 n ?1 互异的节点 x0, x1, ?, xn, ? xi0, xi1, ?, xim ? ? ? x0, x1, ?, xn ? ; 寻找一个 n ? m ?1 次的多项式 H(x) , 使其满足 2. ?n+1(x) 在节点处的导数值 一般，若 x0, x1, ?, xn 为节点，则有 3. Hermit 插值多项式存在唯一性定理 定理5.2 给定函数 f (x) 与互异的节点 x0, x1, ?, xn,则有唯一的 n ? m ?1 次多项式 H(x) 满足插值条件 (5.19) 与 (5. 20). (3) 再用待定系数法,去选取 ak , 使 H(x) 再满足插值条件 (5.20). 因为， 式 (5.22) 是一个以 a0, a1, ?, am 为未知数的线性方程组，由于? xik? 是互异的，故此方程组有唯一的解， H(x) 被确定。 唯一性证明, 见教材. 定理5.3 设 x0, x1, ?, xn 是互异的实数, 对于给定的 x, 实值函数 f (t) 在区间 Ix 上有 n?m?2 阶导数， H(x) 是满足插值条件 (5.19) 的 n?m?1 次 Hermite 插值多项式, 则有余项公式： 例3 给定数表 求次数不高于 5 的多项式 H5(x),使其满足 其中 xi ? ?1? i (i ?0,1,2,3). 解 (1) 先求满足 p3( xi ) = f ( xi ) (i =0,1,2,3) 的三次多项式 p3(x) ，用牛顿插值多项式。 (2) 再求 q(x), 使 令 由 得 ， 解出 所求插值多项式为： 结束 数学符号 x0,x1, ?, xm, ??0?x?,?1?x?, ?, ?n?x?, ? ?, a ? x0 ? x1 ? ? ? xm?b ,, f (x) ? a0 ?a1x ? ? ? amxm, a1 a2 ? ak a1, ?, am, ?L0?x?, L1?x?, ?, Ln?x??, k=0,1, ?, n ?(x) , ? ??x??0 n ?20 a ? x ? b k ? 1, n?m, q ?0, ?n+1 q ?1, ??(a) ?0 ? ?? ? n?? ?? ? ? ????? ??? ??????? ΓΔΘΛΞΦΨΩ ?k ?0 f (x)?C[a, b] (xj,yj),j=0,1,…,m, Δ A, ? A?Rn?n, b, ? b?Rn,Ax=?x ? A(kx)=?(kx) ? ? ? ??k ?s, ?k? s ??, ????? ????? ????? ????? ????? ????? ????? ??????? ? ????? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ║? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ij ( f ? p*, f ? p*), , | x ?a | ? ? (a) ? 0.5 ?10m ? n, n ? k , a1 ?0,m?Z A1?Up1q1TAUp1q1, ????????? ????? ????? ║?????? A?Rn ? n , ????????? ? ? ? ??? ???? | ?k | ? ? p ?1,2, ? ?max p ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? h ? (b ? a) / n?? , ??[a, b] ?n, ?(6.17) ?(I),, ?n+1(x) ? (x ? x0) (x ? x1)… (x ? xn) ?3.14 ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨ ?(x) ?1, [?1,1], 当 N p ? ?时， x?2.14 ? 0.005, y? ?1.231