复变第一章ppt.ppt

(2) 充分性. [证毕] 说明 3. 极限性质 与实变函数的极限运算法则类似. 例1.15 证 例 证 根据定理1.1可知, 4. 复变函数连续的定义 定理1.2 例如, 5. 连续复变函数的性质 特殊的: (1) 有理整函数(多项式) (2) 有理分式函数 在复平面内使分母不为零的点也是连续的. 例 证 6. 闭域上连续函数的性质 (i) 闭域上的连续函数在该域上一定有界； (ⅱ) 闭域上的连续函数在该域上一定有最大值与最 小值； (ⅲ) 闭域上的连续函数在该域上一定一致连续. 复数 复变函数 极限 连续性 代数运算 乘幂与方根 复数表示法 几何表示法 向量表示法 三角及指数表示法 复球面 复平面扩充 曲线 与区域 判别定理 极限 的计算 总结 作业 P28 1.1 (2) (3), 1.6 (2) (3), 1.8 (1) (3), 1.9 (3) (4), 1.14, 1.15 例 证 两边同时开方得 六、 复数在几何中的应用 1、 曲线的复数方程 2、 应用复数证明几何问题 一. 开集与闭集 1. 邻域 §1.2 复平面上的点集 3.内点: 4.开集、闭集: 如果 G 内每一点都是它的内点,那末G 称为开集.平面上不属于G的点的全体称为G的余集, 记作 GC，开集的余集称为闭集. 5.边界、边界点: 设G为点集，z为平面上的一个点，若z的任意邻域内都既有元素含于G内，又有元素不含于G内，则称z为G的边界点;点集G的所有边界点的集合称为G的边界. 6.孤立点: z是点集G内的一个点，若在z的某一邻域内除z之外不含G的点，则称z是G的一个孤立点. 孤立点一定是边界点. 以上基本概念的图示 区域 邻域 边界点 边界 7.有界集与无界集 : 若存在M0,使得有 则称G为有界集，否则，称G为无界集. 例子 例1.9 G={z: |z|M}是一开集; G′={z: |z|≦M}是闭集, |z|=M为边界. G′的余集G为开集. 二. 区域 如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域. (1) D是一个开集； (2) D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来. * 区域 边界 说明 (1) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的. (2) 区域D与它的边界一起构成闭区域 (3) 区域是开集, 闭区域是闭集, 全平面既是开区 域又是闭区域 有界区域和无界区域: (1) 圆环域: 区域的例子 (2) 上半平面: (3) 角形域: (4) 带形域: 三. 平面曲线 1. 连续曲线: 平面曲线的复数表示: 2. 光滑曲线: 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线. 3. 简单曲线: 没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若尔当曲线). 换句话说, 简单曲线自身不相交. 简单闭曲线的性质: 任意一条简单闭曲线 C 将复平面唯一地分成三个互不相交的点集. 内部 外部 边界 课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线? 答 案 简单 闭 简单 不闭 不简单 闭 不简单 不闭 4. 单连通域与多连通域的定义: 复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 就称为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域. 单连通域 多连通域 例 满足下列条件的点集是什么, 如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域? 是一条平行于实轴的直线, 不是区域. 单连通域. 是多连通域. 不是区域. §1.4 无穷大与复球面 一、 南极、北极的定义 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数. 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作∞. 因而球面上的北极 N 就是复数无穷大∞的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面. 二、 复球面的定义 三、 扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 对于复数∞来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大. 复球面的优越处: 能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来. §1.5 复变函数 一、复变函数的概念: 设G为z平面上的点集，若有对应法则f，使得对于 G内的任意一个z，通过f，都有w