9-1 二重积分.pptVIP

第 八 章　二 重 积 分 二重积分的基本性质 极坐标知识回顾 极坐标系中二重积分的计算 极坐标系中二重积分的计算 极坐标系中二重积分的计算 * 　　　　 第一讲　二重积分的概念与性质 主要内容：二重积分的记号、几何意义及基本性质。　　　　第二讲　直角坐标系中二重积分的计算 1. 平面区域两种基本形状的辨别与表示：　 ①X型区域；② Y型区域。 2. 直角坐标系中二重积分的两个基本计算公式：　 ①积分区域为X型区域的二重积分计算公式；　 ②积分区域为Y型区域的二重积分计算公式。 3. 补充说明及进一步举例。　　　　第三讲　极坐标系中二重积分的计算 极坐标知识回顾；计算公式；例题1，例题2，例题3。 D是何区域可以另外用式子表示，也可直接写在二重积分的记号中，如： 这个二重积分的积分区域为矩形， 二重积分本质上是个极限，可能存在也可能不存在。 （二重积分的几何意义详述：见课本P.71之5－9行） 二重积分的几何意义 （性质1、2、3在二重积分的计算中起着较重要的作用） （可推广） （可推广） （性质4、5、6、7的几何意义十分明显，请自己理解） X型区域 0 x y a b 0 x y a b X型区域可以认为是由四条边界围成的，如上图所示。 X型区域的基本特点是：过区域内部任意一点作一直线垂直于X轴，此直线与区域边界的交点总是不超过两个。 X型区域总是可以用关于 x 与 y 的联合不等式表示： Y型区域 0 x y c d 0 x y c d Y型区域可以认为是由四条边界围成的，如上图所示。 Y型区域的基本特点是：过区域内部任意一点作一直线垂直于Y轴，此直线与区域边界的交点总是不超过两个。 Y型区域总是可以用关于 x 与 y 的联合不等式表示： 0 x y a b 上式右端称为先对 y 后对 x的二次积分，通常也记为： 积分区域为X型区域的二重积分计算公式 上式右端称为先对 x 后对 y的二次积分，通常也记为： 积分区域为Y型区域的二重积分计算公式 0 x y c d 　　关于直角坐标系中二重积分的两个基本计算公式，我们有以下补充说明： 　　1. 如果积分区域 D 既不是X型区域又不是Y型区域，可将D 分成若干部分， 使每个部分都是X型区域或Y型区域，再利用二重积分的性质 3 来计算。 　　2. 有时积分区域既可视为X型区域又可视为Y型区域，故计算二重积分可选择两种积分次序（如例1）。但两种方法可能一易一难（如例2）。故恰当选择积分次序很重要（如例3）。 　　3. 请记住一个有用的推论：…………　详细 　　4. 事实上，以上公式中的积分区域可以是广义的X型区域、广义的Y型区域、广义的矩形区域。　详细 　　进一步举例：课本P.77例4（二重积分的几何应用）；习题3.2（P.78）第3题之⑴、⑶（交换二次积分的次序）。 解法一 D是个X型区域: D1: D2: D y O x 4 (1,?1) (4, 2) y=x?2 y2=x 1 x x y O x (1,?1) (4, 2) x=y+2 2 ?1 D 解法二 D是个Y型区域: D: y 3 0 1 P.78第3题之⑴： 0 D1 D2 解： 0 2 y = x y = 2x P.78第3题之⑶： D1 D2 o y x P r ? 有关基本概念： 　直角坐标系：坐标原点、横轴、纵轴。 　极坐标系：极点、极轴。 　点 P 的直角坐标：( x , y ) 。 　点 P 的极坐标：( r , ? ) 。（ r ：极径；? ：极角） 应记住常见曲线的极坐标方程，如： 0 y x P r ? 2 0 y x P r ? 2 例 例 例 *