北师大版八级下册数学第一章 三角形的证明第3节线段的垂直平分线1参考课件.pptVIP

解：∵AB=AC ∴A在线段BC的垂直平分线上 ∵BD=CD ∴ D在线段BC的垂直平分线上 ∴ AD是线段BC的垂直平分线 ∵P是AD上一点 ∴PB=PC 3.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上 一点. 求证：PB=PC P B D C A 深入探索：你还有其他的证明方法吗？ 拓广探索：已知：如图，点P是线段AB垂直平分线MN上的一点，MN交AB于O，OB=4cm，∠APB+3∠ABP=210°，求点B到AP的距离. M A B P N ∟ C ∟ 0 今天你收获了什么？ 1、线段垂直平分线的定理及证明 2、线段垂直平分线的逆定理及证明 3、两个定理之间的区别与联系 独立 作业 习题1.7 1,2,4题. 祝你成功！ 条理清晰，因果相应,言必有据,是初学证明者谨记和遵循的原则. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 线段的垂直平分线(1) 我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分 线上的点到这条线段两个端点距离相等.你能证明 这一结论吗? 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个 端点的距离相等 已知:如图,直线MN⊥AB,垂足是C，且AC=BC,P是MN上任意一点. 求证:PA=PB. A C B P M N 分析：要想证明PA=PB,可以考虑去证明这条线段所在的三角形是否全等.也就是想办法证明△APC≌△BPC.而△APC≌△BPC的条件由已知AC=BC,且MN⊥AB,可推知其能满足三角形全等公理（SAS).故结论可证. 你能写出它的证明过程吗？ 证明：∵MN⊥AB ∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC,PC=PC ∴△APC≌△BPC(SAS) ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等) A C B P M N 如果点P与点C重合，那么结论显然成立. 几何语言描述 老师提示:这个结论是经常用来证明两条 线段相等的根据之一. A C B P M N 如图, ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等). 深入思考：你能写出“定理 线段垂直平分线上的点到这条 线段两个端点距离相等”的逆 命题吗? 逆命题 到一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上. 它是真命题吗?如果是,请你证明它. 思考分析 已知:如图,PA=PB. 求证:点P在AB的垂直平分线上. 分析:要想证明点P在线段AB的垂直平分线上,可以先作出过点P的AB的垂线(或是AB的中点,),然后证明另一个结论正确. 试一试：你能自己写出这两个证明过程吗？ A B P 方法一： 过点P作PC⊥AB,垂足为C ∵PC⊥AB ∴△APC和△BPC都是Rt△ ∵PC=PC,PA=PB ∴Rt△APC≌Rt△BPC(HL) ∴AC=BC(全等三角形的对应边相等) ∴ P在AB的垂直平分线上 A C B P 方法二： 把线段AB的中点记为C,连接PC ∵C为AB的中点 ∴AC=BC ∵PA=PB,PC=PC ∴△APC≌△BPC(SSS) ∴∠PCA=∠PCB=90° ∴PC⊥AB 即P在AB的垂直平分线上 A C B P . 逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 几何语言描述： 如图, ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段 两个端点距离相等的点,在这条线段的 垂直平分线上). 老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一. A B P 练一练 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段BC． 证明：∵ AB = AC， ∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上. ∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）. 你还有其他证明方法吗？ 加强练习： 1，如图,已知AB是线段CD的 垂直平分线,E是AB上的一 点,如果EC=7cm,那么ED= cm;如果∠ECD=600,那 么∠EDC= 0. 老师期望:你能说出填