线性代数讲义3向量空间.pptxVIP

线性代数讲义3向量空间;n 维向量及其线性运算; 向量的加法运算 ;例 设 x1,…, xn-r 为方程组 Ax = 0 的一个基础解系, ; 线性组合 ;练习1 判断向量 ;向量组的线性相关性 ; 线性相关性 ; a1,…,am 线性无关, 也即向量方程; 方阵 A 的列向量组线性相关的充要条件为 | A| = 0.;解1 ;解2 ;证1 ;证2 ;则向量 b 可由 a1,…,ar 线性表示.;练习4 设向量组 a1, a2, a3 线性相关, 向量组 a2, a3, a4 线性无关, 证明 ; 定理2;向量组的秩和最大无关组; 向量组的最大无关组 ; 向量组的最大无关组 ;例 设 x1,…, xn-r (r = R(A))为 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 的一个基础解系, S 为方程组 Ax = 0 的解集, ;证明 ; 初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系.; 定理1 ; 秩与最大无关组的一个算法 ;解 ; 若向量组 B 中的任一向量都可由向量组 A 中的向 量线性表示, 就称向量组 B 可由向量组 A 线性表示.;证明 ; 向量组 B 可由向???组 A 线性表示的充要条件是;证明 ;例 设 P 是立体空间中的一个平面, O 是 P 上一定点, 用 V 表示起点在点 O 的 P 上所有向量的集合. ;例 设 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 的解集为 S, 系数 矩阵 A 的秩 R(A) = r n.; 向量空间;(II) A 组可由B 组线性表示的充要条件是;练习8 由 a1=(1,1,0,0)T, a2=(1,0,1,1)T 所生成的空间记为 V1, 而由 b1=(2,-1,3,3)T, b2=(0,1,-1,-1)T 所生成的空间 记为 V2. 试证 V1 = V2.; 称向量空间 V 的任一最大无关组为 V 的一个基.; n 元方程组 Ax = 0 的基础解系为解空间 S 的一个基, dim S = n-R(A).;解;基变换与过渡矩阵 ; 平面坐标旋转变换公式;向量的内积; 内积的性质;;证明 ; 两向量的夹角 ; 非零向量 a 的单位化(或规范化)向量;; 设 e1, …, er 为 r 维向量空间V 中一组两两正交的 单位向量, 则 e1, …, er 为V 的一个基, 且对V 中任一向 量 a 有表示式; 设 e1, …, er 为 r 维向量空间V 中一组两两正交的 单位向量, 则 e1, …, er 为V 的一个基, 且对V 中任一向 量 a 有表示式;; 定理2 设 e1,…, er 为 Rn 的子空间 V 的一个规范正交基, 对 Rn 中任一向量 a, 记;;称e1,…,er 为a1,…,ar 的规范正交化.;解; 设 e1,…, en 为 Rn 的一个规范正交基,;练习12 设 A, B 为 n 阶正交阵, 证明 AB 也为正交阵.