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勾股定理在代数中的妙用 麻城市罗家铺中学 殷 前 【摘要】勾股定理源于生活、贴近现实。它是平面几何的基石，揭示了直角三角形三边之间的数量关系。不仅在平面几何的解题中有着广泛的应用，而且在代数解题中也有许多应用。勾股定理把数与形结合起来可以巧妙地用来求解二次根式的最值、不等式等代数题目。在应用勾股定理解代数题目时，首先必须对有关的代数式进行几何说明，解释它的几何意义，作出相应的图形，进而将代数问题转化成几何问题求解。下面简单地进行举例： 例1、都是正实数，且满足，求代数式的最小值。 分析：这道题目看起来是一道纯粹的代数题目，求的是两个二次根式的和的最小值。我们同学们初一看似乎都有点犯难，感觉无从下手。但仔细观察这两个二次根式的结构，我们很快就会发现它和我们学过的勾股定理有着密切的联系。我们不妨就试着将二者联系起来。 如图1,设,，,⊥⊥AB，则由勾股定理可知，,原题就转化成求两条线段的和最小的问题了。 解：如图1，设，，，⊥AB，则由勾股定理可知，。显然DC+EC＞DE，当任意点C取到G点所在的位置时，DC+EC=DE。而又由勾股定理易得，DE=5. ∴综上可得，≥5，即其最小值为5.  图1 图2 例2、已知都是正实数，，求证： 分析:这是个不等式的问题,且是无理不等式的证明题.这是我们八年级的同学所未学过的.但是,就知识点和相应的解题的数学思想方法而言,我们又已经具备了这方面的能力了.由勾股定理可知，和分别可以看作是两个直角三角形的斜边，可以看做是两条线段之差，即是一条线段。那么，问题就转化成了求证两条线段之差小于第三条线段了。我们很自然的就联想到三角形三边的知识了。所以，我们只要构造出一个三角形使得它的三边分别是、和就可以证明了。这个是可以做到的。 作，使， ，则=，又作，使，则（如图1所示）。连接，则四边形是矩形，所以。于是要证结论成立，只要证就可以了。显然这是成立的。 证明：如图2，作，使，，则=，又作，使落在上，，，则，连接，则四边形是矩形，所以。 在 ∴ 例3、已知，都是正实数，且，求证： + 分析：由勾股定理可知，与分别是以与与为直角边的直角三角形的斜边，是以为两直角边的直角三角形的斜边，如果能构造出一个三角形，使得它的三边长分别等于上述三条斜边，问题就可以解决了。以为直角边作直角三角形并把图形拼成如图3的图形，连接于Ｆ，则＝，＝，＝。于是，要结论成立，只需证明 ，显然结论成立。 图3 上述说明，在数学学习中，如果同学们既能掌握扎实的基础知识和基本技能，又能掌握相应的数学思想方法，那么，未知领域也是可以占领的。希望同学们在学习中不但要勤于思考，还要善于思考，掌握扎实的基础知识和相应的思想方法，不但的创新，不但的占领新的、未知的领域。 下面有几道思考题，同学们可以试着思考一下： 1、已知都是正实数，且。求证： 2、已知都是正实数，求证：三个数，，中任何两个数的和大于第三个。  3