第二章 函数、导数及其应用 复习讲义.docVIP

第1节　函数及其表示 ◆考纲·了然于胸◆ 1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段)． [要点梳理] 1．函数与映射的概念 函数 映射 两集合A、B 设A，B是两个非空数集 设A，B是两个非空集合 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 y＝f(x)(x∈A) 对应f：A→B是一个映射 2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． 质疑探究：函数的值域是由函数的定义域、对应关系唯一确定的吗？ 提示：是．函数的定义域和对应关系确定后函数的值域就确定了，在函数的三个要素中定义域和对应关系是关键． (3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． (4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 4．常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域为R. (4)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R. (5)y＝tan x的定义域为{x|xR且x≠kπ＋，kZ}． (6)函数f(x)＝x0的定义域为{x|xR且x≠0}． [小题查验] 1．给出下列命题： 函数是建立在其定义域到值域的映射； 函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点； 函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数； 若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数． 其中正确的是(　　)A．B．C．D． 2．(2015·高考湖北卷)已知符号函数sgn x＝f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a＞1)，则(　　) A．sgn[g(x)]＝sgn xB．sgn[g(x)]＝－sgn xC．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)] 3．(2016·潍坊模拟)下列图象可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{x|0≤x≤1}为值域的函数的是(　　) 4．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________． 5．已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)＝________. 考点一　函数的概念(基础型考点——自主练透) [方法链接] 函数的三要素：定义域、值域、对应法则．这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应法则唯一确定；因此当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数．特别值得说明的是，对应法则是就效果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)不是指形式上的即对应法则是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断． [题组集训] 1．下列所给图象是函数图象的个数为(　　) A．1　　　　 B．2　　　C．3　　　D．4 2．下列各组函数中，表示同一函数的是(　　) A．f(x)＝|x|，g(x)＝B．f(x)＝，g(x)＝()2 C．f(x)＝，g(x)＝x＋1D．f(x)＝·，g(x)＝ 考点二　求函数的解析式(重点型考点——师生共研) 【例】　(1)已知f＝lg x，则f(x)＝________. (2)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)的解析式为________． (3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则函数f(x)的解析式为________． 【名师说“法”】 函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件