自编任意角的三角函数讲义.pptVIP

* 新课导入 　　摩天轮相信同学们都不陌生吧，好多同学都坐过，当你坐上摩天轮后，你就开始绕中心不停地旋转，这样就形成了各种各样的角。 　　问题1：如图，摩天轮的半径为10m，中心O离地面为20m，现在小明坐上了摩天轮，并从点P开始以每秒1度的速度逆时针转动，当转动30秒后小明离地面的高度是多少？60秒后呢？ . 10m 20m 300 . 　　问题2：设转动?度后小明离地面的高度为h, ?为00～900,试着写出h和?的关系式。 P1 任意角三角函数的定义 sinα cosα tanα 背景引入 现实世界中，许多运动、变化有着循环往复、周而复始的现象，例如：昼夜交替、四季交替、月亮圆缺变化，这种规律称为周期性。三角函数”正是刻画这种变化重要的数学模型。 “月亮圆缺变化”示意图 三角函数到底是一种怎样的函数?它具有哪些特别的性质?在解决具有周期性变化规律的问题中到底能发挥哪些作用? 1.2.1 任意角的三角函数 o y x P(ｘ，ｙ) ?的终边 r ? 锐角三角函数定义 在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗? o y x P(ｘ，ｙ) ?的终边 r=1 ? 锐角三角函数定义 r=1 P(x,y) 锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标来表示 　　在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆叫单位圆。 问题：定义中终边上点的选取对三角函数值是否有影响？一个角的三角函数值只与 有关。 x y o α B 根据三角形的相似关系，我们可以得到比值是不变的。由此我们可以得到:角的终边被确定上述三个比值就被确定,而与P点的位置无关. x y O 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)则: y 叫α的正弦 x叫α的余弦 叫α的正切 任意角的三角函数定义: 　　对应关系 ， ， 都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数，并统称为三角函数，在弧度制中，这三个三角函数的定义域分别是什么？ 正、余弦函数的定义域为R， 正切函数的定义域是 思考： 定义域 　　求α角的三角函数值，即可求α终边与单位圆交点的纵、横坐标或纵横坐标的比值。 如何求α角的三角函数值? y x O 例1：求 的正弦,余弦,正切的值. 根据上述方法否能求得特殊角三角函数值? 0 不存在 0 不存在 0 tanα 1 0 -1 0 1 cosα 0 -1 0 1 0 sinα 2π 3π/2 π π/2 0 角α（弧度） 360° 270° 180° 90° 0° 角α（角度） P0(-4,-3) M0 M P y x o 分析：由△OMP∽△OM0P0，可求出相应的三角函数值。 例2：已知α的终边经过点P0 （－4，－3），求α角的正弦,余弦,正切的值。 解： P0(-4,-3) M0 M P y x o o y x P(ｘ，ｙ) ?的终边 r ? 事实上: 三角函数也可定义为 设α是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则 　　根据三角函数的定义能否确定正弦,余弦,正切的值在四个象限内的符号? 探究 + + - - + - + - + - - + O x y O x y O x y 三角函数值的符号决定于x、y值的正负 问题：三角函数值在各个象限的符号 一全正，二正弦，三正切，四余弦 例3：确定下列三角函数值的符号。 解： ∵ 分别位于第三象限、第四象限、第一象限、第四象限。 ∴ (1)负 (2)负 (3)正 (4)负 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) （ ） + + - - + + - - + + - - 例4： 求证：当且仅当不等式组下列不等式组成立时，角θ为第三象限角。 　因为sinθ＜0，所以θ在第三象限或第四象限，或θ的终边落在y轴的负半轴上。 　因为tanθ＞0．所以θ在第一象限或第三象限。 　由于sinθ＜0与tanθ＞0同时成立，所以θ在第三象限。 解：? 直角三角形中的锐角三角函数 象限角中的锐角三角函数 单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数 单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数 任意角终边上任一点坐标定义三角函数 　　 根据三角函数的定义: 终边相同的