直角三角形性质定理以及与判定定理(上课)..pptVIP

直角三角形（1） 你知道吗直角三角形有哪些特性？ 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）. a c b 勾 弦 股 勾股定理的证明 我能行 1 方法一: 拼图计算 方法二：割补法 方法三：赵爽的弦图 方法四：总统证法 方法五：青朱出入图 方法六：折纸法 方法七：拼图计算 一、创设问题情境 观察图， 你从图上看到了什么？你想到了什么？ 二、勾股定理及其逆命题： 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么 .即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. .你能验证 吗？ 把你的验证过程 写下来，并与同伴进 行交流. a2+b2=c2 a2+b2=c2 总统证法 回顾反思 1 这个证明方法出自一位总统, 1881年，伽菲尔德(J.A. Garfield )就任美国第二十任总统,在 1876 , 利用了梯形面积公式。 图中三个三角形面积的和是 2×ab/2＋c/2;梯形面积为(a+b)(a+b)/2; 比较可得:c2 = a2+b2 。 伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。 ． 勾股定理不只是数学家爱好，魅力真大！ a b a b c c 1. 这个定理的条件与结论分别是什么？ 2. 把这个定理的条件与结论互换，你将得到一个什么命题？ 3.你能证明所得命题的正确性吗？ 如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形. 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么 .即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. a2+b2=c2 证明:作Rt △A′B′C′使∠C′ =900,A′C′=AC,B′C′=BC(如图),则 已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2. 求证:△ABC是直角三角形. a c b A B C (1) a c b B′ A′ C′ (2) A′C′2+B′C′2=A′B′2(勾股定理). ∵AC2+BC2=AB2(已知), A′C′=AC,B′C′=BC(作图), ∴ AB2=A′B′2(等式性质). ∴ AB=A′B′(等式性质). ∴ △ABC≌ △A′B′C′(SSS). ∴ ∠c=∠c′＝ 900(全等三角形的对应边). ∴ △ABC是直角三角形(直角三角形定义). 逆命题的证明 1.如图，在△ABC中，已知AB=13cm, BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm. 求证:AB=AC. 证明:∵BD=CD,BC=10cm(已知), ∴ BD=5cm(等式性质). ∵ AD2+BD2=122+52＝144+25=169, AB2=132=169, ∴AD2+BD2=AB2. D B C A ∴ 在△ABD中, ∴△ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形). 在Rt△ADC中 ∴AC2=DC2+AD2=122+52＝144+25=169, ∴AC2=AB2. ∴AB=AC(等式性质). 三、应用举例 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形. 观察上面两个命题,它们的条件与结论之间有怎样的关系?与同伴交流. 再观察下面两组命题: 如果两个角是对顶角,那么它们相等, 如果两个角相等,那么它们是对顶角; 如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧, 如果小明发烧,那么他一定患了肺炎; 上面每组中两个命题的条件和结论之间也有类似的关系吗?与同伴进行交流. 四、命题与逆命题 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 你能写出命题“如果两个有理数相等, 那么它们的平方相等”的逆命题吗? 它们都是真命题吗? 想一想:一个命题是真命题,它逆命题是真命题还是假命题? 命题与逆命题 每位同学向自己的同桌提一个命题，让对方说出它的逆命题，并判断是真命题还是假命题。 一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题. 我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理, 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行. 你还能举出一些例子吗? 想一想: 互逆命题与互逆定理有何关系? 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定